Giá trị của là gì? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Giá trị của là gì? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2
Anonim

Câu trả lời:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Giải trình:

Chúng ta tìm kiếm:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Cả tử số và mẫu số 2 #rarr 0 # như #x rarr 0 #. do đó giới hạn # L # (nếu nó tồn tại) là một dạng không xác định #0/0#và do đó, chúng tôi có thể áp dụng quy tắc của L'Hôpital để có được:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Bây giờ, sử dụng định lý cơ bản của phép tính:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

Và,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

Và như vậy:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Một lần nữa, đây là một hình thức không xác định #0/0#và do đó, chúng ta có thể áp dụng lại quy tắc của L'Hôpital để có được:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Mà, chúng ta có thể đánh giá:

# L = (0) / (2-0) = 0 #