Gọi S là một hình vuông có diện tích đơn vị. Xét bất kỳ tứ giác nào có một đỉnh ở mỗi cạnh của S. Nếu a, b, c và d biểu thị độ dài các cạnh của tứ giác, chứng minh rằng 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

Để cho #ABCD# là một hình vuông của đơn vị diện tích.

Vì thế # AB = BC = CD = DA = 1 # đơn vị.

Để cho # PQRS # là một tứ giác có một đỉnh ở mỗi cạnh của hình vuông. Ở đây để # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = a #

Áp dụng Pythagoras thorem chúng ta có thể viết

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = x ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

Bây giờ bởi vấn đề chúng ta có

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

Vì thế

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #