Làm thế nào để tính tổng của cái này? tổng_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

Xem xét #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

nhưng # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # và

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # sau đó

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Câu trả lời:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # khi nào # | x | <1 #

Giải trình:

Chúng tôi bắt đầu bằng cách viết ra một số hệ số:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

Điều đầu tiên chúng tôi muốn xem xét là các hệ số (mức độ của # x # có thể dễ dàng điều chỉnh bằng cách nhân và chia chuỗi cho # x #, vì vậy chúng không quan trọng). Chúng tôi thấy rằng tất cả chúng là bội số của hai, vì vậy chúng tôi có thể đưa ra hệ số hai:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Các hệ số bên trong dấu ngoặc đơn này có thể được công nhận là chuỗi nhị thức có lũy thừa # alpha = -3 #:

# (1 + x) ^ alpha = 1 + alphax + (alpha (alpha-1)) / (2!) X ^ 2 + (alpha (alpha-1) (alpha-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Chúng tôi nhận thấy rằng số mũ của tất cả các số hạng trong ngoặc đơn lớn hơn hai lần so với chuỗi chúng tôi vừa xuất phát, vì vậy chúng tôi phải nhân lên # x ^ 2 # để có được chuỗi đúng:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Điều này có nghĩa là chuỗi của chúng tôi (khi nó hội tụ) bằng:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Chỉ cần xác minh rằng chúng tôi đã không phạm sai lầm, chúng tôi có thể nhanh chóng sử dụng Chuỗi Binomial để tính toán một chuỗi cho # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2!) X ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Chúng ta có thể mô tả mô hình này như vậy:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Vì thuật ngữ đầu tiên chỉ là #0#, chúng tôi có thể viết:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

đó là loạt chúng tôi bắt đầu với, xác minh kết quả của chúng tôi.

Bây giờ chúng ta chỉ cần tìm ra khoảng hội tụ, để xem khi nào chuỗi thực sự có giá trị. Chúng ta có thể làm điều này bằng cách xem xét các điều kiện hội tụ cho chuỗi nhị thức và thấy rằng chuỗi đó hội tụ khi # | x | <1 #