Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Bạn có thể giải quyết vấn đề này không?

Câu trả lời:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Giải trình:

Chúng ta có:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (tội ^ 2x- cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (tội ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2 giây ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (1- cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (cosx - cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

Để cho #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

Chúng ta thấy rằng #u = -1 # là một yếu tố. Sử dụng phân chia tổng hợp, chúng tôi nhận được

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

Phương trình # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # có thể được giải bằng cách sử dụng công thức bậc hai.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~ ~ 0,809 hoặc -0.309 #

Kể từ khi #cosx = u #, chúng tôi nhận được #x = pi / 5, (3pi) / 5 # và #số Pi#.

Ở đâu # n # là một số nguyên.

Biểu đồ của # y_1 = sin ^ 4x- cos ^ 4x # và # y_2 = cos (3x) # xác nhận rằng các giải pháp là các điểm giao nhau.

Hy vọng điều này sẽ giúp!

Câu trả lời:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Giải trình:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (tội ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (tội ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #, hoặc là

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Vòng tròn đơn vị và thuộc tính của cos, cho ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

a. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Nếu k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Nếu k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Nếu k = 0 -> #x = - pi / 5 #, hoặc là #x = (9pi) / 5 # (đồng đầu cuối)

Nếu k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

Trong khoảng thời gian đóng 0, 2pi, các câu trả lời là:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Kiểm tra bằng máy tính.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = - 0.428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0.119 - 0.428 = - 309 #. Chứng minh

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = 0.428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0.309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0.309 #. Chứng minh

Câu trả lời:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # nrarrZ #

Giải trình:

# rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# rarr-cos2x = cos3x #

# rarrcos3x + cos2x = 0 #

# rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

Hoặc #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # nrarrZ #

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi # # nrarr #

Câu trả lời:

Giải pháp chung không yêu cầu công thức ba góc và là

# x = 180 ^ Circ + 360 ^ Circ k # hoặc là # x = 36 ^ Circ + 72 ^ Circ k #

cho số nguyên # k #.

Giải trình:

Tôi không thích đọc câu trả lời của người khác trước khi tôi tự giải quyết một câu hỏi. Nhưng một câu trả lời đặc trưng cho cái này xuất hiện. Trong cái nhìn nhanh của tôi, tôi không thể nhận ra rằng nó trông khá phức tạp đối với những gì đối với tôi giống như một câu hỏi tương đối dễ. Tôi sẽ cho nó một viên đạn.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (tội ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ tuần hoàn - 2x) = cos 3x #

Tôi đã ở Socratic được vài tuần và điều này đang nổi lên như là chủ đề của tôi: Giải pháp chung cho #cos x = cos a # Là #x = pm a + 360 ^ tuần k quad # cho số nguyên # k. #

# 180 ^ Circ - 2x = pm 3x + 360 ^ Circ k #

# -2x pm 3x = -180 ^ vòng + 360 ^ vòng k #

Chúng tôi có các dấu hiệu riêng biệt. Cộng với đầu tiên:

# x = -180 ^ Circ + 360 ^ Circ k = 180 ^ Circ + 360 ^ Circ k #

Trừ đi tiếp.

# -5x = -180 ^ vòng + 360 ^ vòng k #

# x = 36 ^ Circ + 72 ^ Circ k #

Nếu bạn đọc kỹ những điều này, bạn có thể nghĩ rằng tôi đã phạm sai lầm với cách tôi thao túng # k #. Nhưng kể từ khi # k # phạm vi trên tất cả các số nguyên, thay thế như #k đến -k # và #k đến k + 1 # được cho phép và tôi trượt những người vào để giữ các dấu hiệu #+# khi họ có thể

Kiểm tra:

Hãy chọn một vài để kiểm tra. Tôi đủ táo bạo để biết #cos 36 ^ tuần # là một nửa tỷ lệ vàng, nhưng tôi sẽ không giải quyết chính xác những điều này, chỉ cần đưa chúng vào Wolfram Alpha để đảm bảo.

# x = 36 ^ Circ + 72 ^ Circ = 108 ^ Circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #