Sự khác biệt giữa một phản vật chất và tích phân là gì?

Không có sự khác biệt, hai từ đồng nghĩa.

Nó phụ thuộc vào một vài điều. Mà chống đối, nói chung hay cụ thể? tích phân xác định hay không xác định? Và, chúng ta đang hỏi ai?

Tổng hợp chống phản kháng và vô hạn:

Nhiều nhà toán học không phân biệt tích phân không xác định và tính chống đối nói chung. Trong cả hai trường hợp cho chức năng # f # câu trả lời là #F (x) + C # Ở đâu #F '(x) = f (x) #..

Một số (ví dụ, tác giả sách giáo khoa James Stewart) làm cho một sự khác biệt. Những gì Stewart đề cập đến như là "phản đối" chung nhất của # f #, thừa nhận các hằng số khác nhau ở mỗi mức độ bất mãn của # f #. Ví dụ, anh ta sẽ trả lời rằng thuốc chống động kinh nói chung nhất # 1 / x ^ 2 # là một hàm xác định từng phần:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # cho #x <0 # và # (- 1) / x + C_2 # cho #x> 0 #.

Tích phân không xác định của # f #, trong điều trị này, luôn luôn là một thuốc chống tĩnh điện trong một khoảng thời gian # f # là liên tục.

Vì thế #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, trong đó người ta hiểu rằng miền bị giới hạn trong một số tập hợp con của các thực dương hoặc một tập hợp con của các thực âm.

Antider đặc biệt

Một phản vật chất đặc biệt của # f # là một chức năng # F # (chứ không phải là một họ các hàm) #F '(x) = f (x) #.

Ví dụ:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # cho #x <0 # và # (- 1) / x + 1 # cho #x> 0 #.

là một thuốc chống trầm cảm đặc biệt của #f (x) = 1 / x ^ 2 #

Và:

#G (x) = (- 1) / x-3 # cho #x <0 # và # (- 1) / x + 6 # cho #x> 0 #.

là một thuốc chống trầm cảm đặc biệt khác nhau của #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Tích phân xác định

Tích phân xác định của # f # từ # a # đến # b # không phải là một chức năng. Nó là một con số

Ví dụ:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Để làm phức tạp thêm vấn đề, có thể tìm thấy tích phân xác định này, bằng cách sử dụng Định lý cơ bản của Tính toán, Phần 2, bằng cách tìm / tích phân không xác định / phản kháng tổng quát trước, sau đó thực hiện phép tính số học.)

Câu hỏi của bạn liên quan đến những gì thực sự là "cái nhìn sâu sắc" trong sự phát triển tính toán của Isaac Newton và Gottfried Leibniz.

Tập trung vào các chức năng không bao giờ tiêu cực, cái nhìn sâu sắc này có thể được diễn đạt như: "Antider có thể được sử dụng để tìm thấy các khu vực (tích phân) và các khu vực (tích phân) có thể được sử dụng để định nghĩa phản đối ". Đây là bản chất của Định lý cơ bản của Tính toán.

Không phải lo lắng về số tiền Riemann (rốt cuộc, Bernhard Riemann đã sống gần 200 năm sau Newton và Leibniz dù sao) và lấy khái niệm khu vực làm khái niệm trực quan (không xác định), cho một chức năng không âm liên tục #f (x) geq 0 # cho tất cả # x # với #a leq x leq b #, chỉ cần nghĩ về biểu tượng tích phân xác định # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # như đại diện cho khu vực dưới biểu đồ của # f # và trên # x #-axis giữa # x = a # và # x = b #. Nếu chức năng khác # F # có thể được tìm thấy để #F '(x) = f (x) # cho tất cả #a leq x leq b #, sau đó # F # được gọi là phản vật chất của # f # trong khoảng # a, b # và sự khác biệt #F (b) -F (a) # bằng giá trị của tích phân xác định. Đó là, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Thực tế này rất hữu ích cho Phát hiện giá trị của một tích phân xác định (diện tích) khi có thể tìm thấy một công thức cho một phản vật chất.

Ngược lại, nếu chúng ta biến giới hạn trên của biểu tượng tích phân thành một biến, hãy gọi nó # t #và định nghĩa một hàm # F # theo công thức #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (vì thế #F (t) # thực sự là khu vực dưới đồ thị của # f # giữa # x = a # và # x = t #, giả định #a leq t leq b #), sau đó chức năng mới này # F # được xác định rõ, khác biệt và #F '(t) = f (t) # cho tất cả các số # t # giữa # a # và # b #. Chúng tôi đã sử dụng một tích phân để định nghĩa một phản vật chất của # f #. Thực tế này rất hữu ích cho việc xấp xỉ các giá trị của một phản vật chất khi không tìm thấy công thức nào cho nó (sử dụng các phương pháp tích hợp số như quy tắc của Simpson). Chẳng hạn, nó được các nhà thống kê sử dụng mọi lúc khi xấp xỉ các khu vực dưới đường cong Bình thường. Các giá trị của một phản kháng đặc biệt của đường cong Bình thường tiêu chuẩn thường được đưa ra trong một bảng trong sách thống kê.

Trong trường hợp # f # có giá trị âm, tích phân xác định phải được nghĩ theo nghĩa "các khu vực đã ký".