Đặt G là nhóm tuần hoàn và G = 48. Làm thế nào để bạn tìm thấy tất cả các nhóm con của G?

Câu trả lời:

Các nhóm con đều theo chu kỳ, với các đơn hàng được chia #48#

Giải trình:

Tất cả các nhóm con của một nhóm tuần hoàn đều là chu kỳ, với các đơn hàng là ước số của thứ tự của nhóm.

Để xem tại sao, giả sử # G = <a> # là chu kỳ với trật tự # N # và #H phụ G # là một nhóm nhỏ.

Nếu # a ^ m trong H # và # a ^ n trong H #, sau đó cũng vậy # a ^ (chiều + qn) # cho mọi số nguyên #p, q #.

Vì thế # a ^ k trong H # Ở đâu #k = GCF (m, n) # và cả hai # a ^ m # và # a ^ n # đang ở trong # <a ^ k> #.

Đặc biệt, nếu # a ^ k trong H # với #GCF (k, N) = 1 # sau đó #H = <a> = G #.

Cũng không phải là nếu #mn = N # sau đó # <a ^ m> # là một nhóm nhỏ của # G # với đơn hàng # n #.

Chúng ta có thể suy luận:

• # H # không có nhiều hơn #1# máy phát điện.
• Lê nh cu a # H # là một yếu tố của # N #.

Trong ví dụ của chúng tôi #N = 48 # và các nhóm con là đẳng cấu với:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, #C 6#, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

được:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #