Làm thế nào để bạn tích hợp này? dx (x²-x + 1) Tôi bị kẹt ở phần này (hình ảnh được tải lên)

Câu trả lời:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Giải trình:

Tiếp tục…

Để cho # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1 # 2

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Sử dụng một phản vật chất những gì nên được cam kết vào bộ nhớ …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Đây là một tích phân nhỏ khó khăn và giải pháp ban đầu sẽ không rõ ràng. Vì đây là một phân số, chúng tôi có thể cố gắng xem xét sử dụng kỹ thuật phân số một phần, nhưng một phân tích nhanh cho thấy rằng điều này là không thể vì # x ^ 2-x + 1 # không phải là yếu tố

Chúng tôi sẽ cố gắng đưa tích phân này vào một hình thức mà chúng tôi thực sự có thể tích hợp. Lưu ý sự giống nhau giữa # int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # và # int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; chúng ta biết rằng tích phân sau đánh giá # arctanx + C #. Do đó, chúng tôi sẽ cố gắng để có được # x ^ 2-x + 1 # trong các hình thức #k (x-a) ^ 2 + 1 #và sau đó áp dụng # arctanx # quy tắc.

Chúng ta sẽ cần phải hoàn thành hình vuông trên # x ^ 2-x + 1 #:

# x ^ 2-x + 1 #

# = x ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #

(rất lộn xộn, tôi biết)

Bây giờ chúng tôi có nó ở dạng mong muốn, chúng tôi có thể tiến hành như sau:

# int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #