Thêm về cơ học?

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

Chúng tôi sẽ sử dụng công thức gọi là Euler Lagrange

# d / dt ((partL) / (chấm một phần q_i)) - (một phần L) / (một phần q_i) = Q_i #

Ở đâu #L = T-V #. Trong bài tập này, chúng tôi có # V = 0 # vì thế #L = T #

Gọi điện thoại # x_a # tâm của tọa độ xi lanh trái và # x_b # thứ cứng nhất, chúng ta có

# x_b = x_a + R costheta + Lcosalpha #

Đây # sinalpha = R / Lsintheta # thay thế cho # alpha #

# x_b = x_a-R costheta + sqrt L ^ 2 - R ^ 2 sin ^ 2theta #

bây giờ bắt nguồn

#dot x_b = dot x_a + RIN (theta) dot theta - ((R ^ 2cos (theta) sin (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta))) chấm theta #

nhưng

# T = 1/2 J (omega_a ^ 2 + omega_b ^ 2) + 1 / 2m (v_a ^ 2 + v_b ^ 2) #

Đây # J # là động lượng quán tính liên quan đến trung tâm đại chúng. Cũng thế,

# v_a = chấm x_a = R chấm theta #

#omega_a = chấm theta #

vì vậy, sau khi thay thế và gọi #xi (theta) = 1- (Rcos (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta)) # chúng ta có

# T = 1/2 (J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2) chấm theta ^ 2 #

Chúng tôi đã chọn # theta # như tọa độ tổng quát. Vì vậy, chúng tôi sẽ giảm # F # kích hoạt trong tọa độ # x # cho một lực tương đương trong # theta #. Phối hợp này hoạt động khôn ngoan, vì vậy chúng ta cần một động lượng tổng quát liên quan đến điểm tiếp xúc trong sàn, đó là

#Q_ (theta) = FR (1+ sintheta) #

Các phương trình chuyển động thu được sau

# (J + mR ^ 2) ((1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) chấm theta ^ 2 + (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2) ddot theta) = FR (1 + sin (theta)) # bây giờ giải quyết cho #ddot theta #

# ddottheta = (FR (1 + sin (theta)) - (J + mR ^ 2) (1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) dottheta ^ 2) / ((J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2)) #

Đính kèm hai lô. Chương trình đầu tiên # theta # tiến hóa và thứ hai là cho # dottheta #

Giá trị của các tham số:

# R = 0,5, J = 1, m = 1, L = 2 # Các lực được áp dụng được hiển thị trong màu đỏ.