Các giá trị của r (với r> 0) mà chuỗi hội tụ là gì?

Câu trả lời:

#r <1 / e # là điều kiện để hội tụ #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) #

Giải trình:

Tôi sẽ chỉ trả lời phần về sự hội tụ, phần đầu tiên đã được trả lời trong các ý kiến. Chúng ta có thể sử dụng # r ^ ln (n) = n ^ ln (r) # viết lại tổng #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) # trong các hình thức

#sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -ln (r) #

Sê-ri bên phải là dạng sê-ri cho chức năng Riemann Zeta nổi tiếng. Người ta biết rằng loạt bài này hội tụ khi #p> 1 #. Sử dụng kết quả này trực tiếp cho

# -ln (r)> 1 ngụ ý ln (r) <- 1 ngụ ý r <e ^ -1 = 1 / e #

Kết quả về các chức năng Riemann Zeta rất nổi tiếng, Nếu bạn muốn một ab initio Trả lời, bạn có thể thử kiểm tra tích phân để hội tụ.