Đạo hàm của x ^ n là gì?

Đối với chức năng #f (x) = x ^ n #, n nên không phải bằng 0, vì những lý do sẽ trở nên rõ ràng. n cũng phải là số nguyên hoặc số hữu tỷ (nghĩa là một phân số).

Quy tắc là:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Nói cách khác, chúng ta "mượn" sức mạnh của x và biến nó thành hệ số của đạo hàm, sau đó trừ đi 1 từ công suất.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Như tôi đã đề cập, trường hợp đặc biệt là trong đó n = 0. Điều này có nghĩa rằng

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Chúng ta có thể sử dụng quy tắc của mình và về mặt kỹ thuật nhận được câu trả lời đúng:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Tuy nhiên, sau này, chúng ta sẽ gặp phải các vấn đề phức tạp khi chúng ta cố gắng sử dụng nghịch đảo của quy tắc này.

Câu trả lời:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Dưới đây là bằng chứng cho mọi số, nhưng chỉ bằng chứng cho tất cả các số nguyên sử dụng bộ kỹ năng cơ bản của định nghĩa đạo hàm. Bằng chứng cho tất cả các lý do sử dụng quy tắc chuỗi và cho các phi lý sử dụng sự khác biệt ngầm.

Giải trình:

Điều đó đang được nói, tôi sẽ hiển thị tất cả ở đây, vì vậy bạn có thể hiểu quá trình. Coi chừng đó #sẽ# khá dài

Từ #y = x ^ (n) #, nếu #n = 0 # chúng ta có #y = 1 # và đạo hàm của một hằng số là bằng không.

Nếu # n # là bất kỳ số nguyên dương nào khác, chúng ta có thể ném nó vào công thức đạo hàm và sử dụng định lý nhị thức để giải quyết mớ hỗn độn.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

Ở đâu # K_i # là hằng số thích hợp

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

Chia rẽ # h #

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Chúng ta có thể rút ra thuật ngữ đầu tiên từ tổng

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Lấy giới hạn, mọi thứ khác vẫn còn trong tổng sẽ về không. Tính toán # K_1 # chúng tôi thấy rằng nó bằng # n #, vì thế

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Dành cho # n # đó là các số nguyên âm, nó phức tạp hơn một chút. Biết rằng # x ^ -n = 1 / x ^ b #, như vậy mà #b = -n # và do đó là tích cực.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Học kỳ đầu tiên

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Đi giới hạn, ở đâu # K_1 = b #, đăng ký trở lại # n #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Đối với hợp lý chúng ta cần sử dụng quy tắc chuỗi. I E.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Vì vậy, biết rằng # x ^ (1 / n) = root (n) (x) # và giả sử #n = 1 / b # chúng ta có

# (x ^ n) ^ b = x #

Nếu # b # là thậm chí, câu trả lời là về mặt kỹ thuật # | x | # nhưng điều này là đủ gần cho mục đích của chúng tôi

Vì vậy, sử dụng quy tắc chuỗi chúng ta có

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

Và cuối cùng nhưng không kém phần quan trọng, bằng cách sử dụng sự khác biệt ngầm chúng ta có thể chứng minh cho tất cả các số thực, bao gồm cả các số vô tỷ.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #