Câu hỏi # 53a2b + Ví dụ

Câu trả lời:

Định nghĩa về khoảng cách này là bất biến dưới sự thay đổi của khung quán tính, và do đó có ý nghĩa vật lý.

Giải trình:

Không gian Minkowski được xây dựng thành không gian 4 chiều với tọa độ tham số # (x_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, nơi chúng ta thường nói # x_0 = ct #. Tại cốt lõi của thuyết tương đối đặc biệt, chúng ta có các phép biến đổi Lorentz, là các phép biến đổi từ một khung quán tính này sang một khung khác để lại tốc độ bất biến ánh sáng. Tôi sẽ không đi sâu vào sự biến đổi hoàn toàn của các phép biến đổi Lorentz, nếu bạn muốn tôi giải thích điều đó, chỉ cần hỏi và tôi sẽ đi vào chi tiết hơn.

Điều quan trọng là sau đây. Khi chúng ta nhìn vào không gian Euclidian (không gian mà chúng ta có định nghĩa thông thường về chiều dài mà chúng ta đã quen # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), chúng tôi có những biến đổi nhất định; xoay không gian, dịch và phản chiếu. Nếu chúng ta tính khoảng cách giữa hai điểm trong các khung tham chiếu khác nhau được kết nối bởi các phép biến đổi này, chúng ta sẽ thấy khoảng cách là như nhau. Điều này có nghĩa là khoảng cách Euclidian là bất biến dưới các phép biến đổi này.

Bây giờ chúng tôi mở rộng khái niệm này sang không thời gian 4 chiều. Trước lý thuyết tương đối đặc biệt của Einsteins, chúng tôi đã kết nối các khung quán tính bằng các phép biến đổi Galilei, chỉ thay thế một tọa độ không gian # x_i # bởi # x_i-v_it # cho #iin {1,2,3} # Ở đâu # v_i # là vận tốc của người quan sát trong #tôi# hướng so với khung ban đầu. Phép biến đổi này không để lại tốc độ bất biến ánh sáng, nhưng nó đã để lại khoảng cách do phần tử đường gây ra # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #, đơn giản vì không có thay đổi về tọa độ thời gian, nên thời gian là tuyệt đối.

Tuy nhiên, phép biến đổi Galilei không mô tả chính xác sự biến đổi của một khung quán tính này sang khung khác, bởi vì chúng ta biết tốc độ ánh sáng là bất biến dưới một phép biến đổi tọa độ thích hợp. Vì vậy, chúng tôi đã giới thiệu sự chuyển đổi Lorentz. Khoảng cách Euclidian mở rộng đến không thời gian 4 chiều như đã thực hiện ở trên không phải là bất biến theo phép biến đổi Lorentz này, tuy nhiên, khoảng cách gây ra bởi # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # là, mà chúng ta gọi là khoảng cách thích hợp. Vì vậy, mặc dù khoảng cách Euclidian này nơi định lý Pythagoras nắm giữ là một cấu trúc toán học khá hoàn hảo trên không gian 4 mờ, nó không có bất kỳ ý nghĩa vật lý nào, vì nó phụ thuộc vào người quan sát.

Khoảng cách thích hợp không phụ thuộc vào người quan sát, do đó chúng ta có thể cho nó ý nghĩa vật lý, điều này được thực hiện bằng cách kết nối arclenght của một thế giới qua không gian Minkowski bằng khoảng cách này với thời gian trôi qua được quan sát bởi một vật thể đi dọc theo thế giới này. Lưu ý rằng nếu chúng ta để thời gian cố định, định lý Pythagoras vẫn giữ trong tọa độ không gian.

EDIT / KHAI THÁC BỔ SUNG:

Người hỏi ban đầu của câu hỏi này yêu cầu tôi giải thích thêm một chút, anh viết: "Cảm ơn. Nhưng, bạn có thể giải thích hai ký sinh trùng cuối cùng một chút nữa không. Trong một cuốn sách tôi thấy họ có # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 #. Vui lòng giải thích "Về bản chất những gì chúng tôi có ở đây là phiên bản hai chiều của những gì tôi đã mô tả ở trên. Chúng tôi có một mô tả về không thời gian với một chiều và một chiều không gian. Về điều này, chúng tôi xác định khoảng cách, hay chính xác hơn là một khoảng cách (khoảng cách từ nguồn gốc đến một điểm) #S# sử dụng công thức # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 # Ở đâu # x # là tọa độ không gian và # t # tọa độ thời gian.

Những gì tôi đã làm ở trên là một phiên bản ba chiều của điều này, nhưng quan trọng hơn là tôi đã sử dụng # (DS) ^ 2 # thay vì # s ^ 2 # (Tôi đã thêm dấu ngoặc đơn để làm rõ những gì bình phương). Không đi sâu vào chi tiết hình học vi phân quá nhiều, nếu chúng ta có một đường nối hai điểm trong không gian, # DS # là chiều dài của một mảnh nhỏ của dòng, một phần tử được gọi là dòng. Thông qua phiên bản 2D của những gì tôi đã viết ở trên, chúng ta có # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, liên quan đến chiều dài của mảnh nhỏ này với sự thay đổi nhỏ trong tọa độ. Để tính khoảng cách từ điểm gốc đến điểm # x_0 = a, x_1 = b # trong không thời gian, chúng tôi tính chiều dài của một đường thẳng đi từ điểm gốc đến điểm đó, đường thẳng này được đưa ra # x_0 = a / bx_1 # Ở đâu # x_1in 0, b #, chúng tôi chú ý điều đó # dx_0 = a / bdx_1 #, vì thế # DS ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, vì thế # ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, mà chúng ta có thể tích hợp, cho # s = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

vì thế # s ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2 x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # trong # (t, x) # tọa độ.

Vì vậy, thực sự những gì tôi đã viết ở trên cung cấp cho những gì bạn đọc trong cuốn sách. Tuy nhiên, phiên bản phần tử dòng cho phép bạn tính toán độ dài của bất kỳ dòng nào, không chỉ các đường thẳng. Câu chuyện về sự biến đổi Lorentz vẫn còn, chuẩn mực này #S# là bất biến dưới sự thay đổi của khung tham chiếu, trong khi # x ^ 2 + (ct) ^ 2 # không phải là.

Việc định lý Pythagoras không nắm giữ không có gì đáng ngạc nhiên. Định lý Pythagoras giữ trong hình học Euclide. Điều này có nghĩa là không gian mà bạn làm việc bằng phẳng. Một ví dụ về không gian không bằng phẳng là bề mặt của một hình cầu. Khi bạn muốn tìm khoảng cách giữa hai điểm trên bề mặt này, bạn lấy chiều dài của con đường ngắn nhất trên bề mặt này nối hai điểm này. Nếu bạn xây dựng một tam giác vuông trên bề mặt này, trông sẽ rất khác với một tam giác trong không gian Euclide, vì các đường thẳng sẽ không thẳng, định lý Pythagoras nói chung không giữ được.

Một tính năng quan trọng khác của hình học Euclide là khi bạn đặt một hệ tọa độ trên không gian này, mọi tọa độ đều thực hiện cùng một vai trò. Bạn có thể xoay các trục và kết thúc với cùng một hình dạng. Trong hình học Minkowski ở trên, không phải tất cả các tọa độ đều có vai trò giống nhau, vì các trục thời gian có dấu trừ trong các phương trình và các tọa độ khác thì không. Nếu dấu trừ này không có ở đó, thời gian và không gian sẽ có vai trò tương tự trong không thời gian, hoặc ít nhất là trong hình học. Nhưng chúng ta biết rằng không gian và thời gian không giống nhau.