Chuyển đổi tất cả các số phức sang dạng lượng giác rồi đơn giản hóa biểu thức? Viết câu trả lời ở dạng chuẩn.

Câu trả lời:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} +1) / 2 i #

Giải trình:

Trong một câu trả lời khác cho câu hỏi này, tôi đoán có một lỗi đánh máy trong câu hỏi này và đó #-3# được cho là # -sqrt {3} #. Tôi đã được đảm bảo trong một nhận xét rằng đó không phải là trường hợp, rằng câu hỏi là chính xác như bằng văn bản.

Tôi sẽ không lặp lại cách chúng tôi xác định

# 2+ 2i = 2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ Circ #

# sqrt {3} + i = 2 text {cis} 30 ^ Circ #

Nhưng bây giờ chúng tôi phải chuyển đổi # -3 + i # đến dạng lượng giác. Chúng tôi có thể làm điều đó, nhưng vì nó không phải là một trong những hình tam giác ưa thích của Trig, nên hơi khó xử hơn một chút.

# | -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

Chúng ta đang ở góc phần tư thứ hai và giá trị chính của tiếp tuyến nghịch đảo là góc phần tư thứ tư.

# angle (-3 + i) = text {Arc} văn bản {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ Circ #

# -3 + i = sqrt {10} text {cis} (văn bản {Arc} văn bản {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ Circ) #

De Moivre không hoạt động tốt trên một hình thức như thế này, chúng tôi nhận được

# (-3 + i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} text {cis} (3 (văn bản {Arc} văn bản {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ Circ)) #

Nhưng chúng tôi không bị mắc kẹt. Vì số mũ chỉ là #3# chúng ta có thể làm điều này với các công thức ba góc. Hãy gọi góc không đổi mà chúng ta tìm thấy

#theta = góc (-3 + i) #

Bởi De Moivre, # (-3 + i) ^ 3 = (sqrt {10} text {cis} theta) ^ 3 = 10sqrt {10} (cos (3theta) + i sin (3 theta)) #

Chúng tôi biết

# cos theta = -3 / sqrt {10}, tứ giác theta = 1 / sqrt {10} #

#cos (3 theta) = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = 4 (-3 / sqrt {10}) ^ 3 - 3 (- 3 / sqrt {10}) = - (9 sqrt (10)) / 50 #

#sin (3 theta) = 3 sin theta - 4 sin ^ 3 theta = 3 (1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10)) / 50 #

# (-3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50) (-9 + 13 i) = -18 +26 i #

Điều đó có vẻ như nhiều công việc hơn là chỉ hình khối # (- 3 + i): #

# (-3 + i) (- 3 + i) (- 3 + i) = (- 3 + i) (8 -6i) = -18 + 26 i quad sqrt #

OK, chúng ta hãy làm vấn đề:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = {(2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ Circ) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(2 text {cis} 30 ^ Circ) ^ {10} } #

# = ({2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10) { text {cis} (5 cdot 45 ^ Circ)} / { text {cis} (10 cdot 30 ^ Circ)} (- 3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) { text {cis} (225 ^ Circ)} / { text {cis} (300 ^ Circ)} (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) text {cis} (225 ^ tuần hoàn - 300) (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) text {cis} (- 75 ^ tuần hoàn) #

Ugh, nó không bao giờ kết thúc. Chúng tôi nhận được

#cos (-75 ^ Circ) = cos 75 ^ Circ = cos (45 ^ Circ + 30 ^ Circ) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 - 1/2) = 1/4 (sqrt {6} -sqrt {2}) #

#sin (-75 ^ Circ) = - (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 (sqrt {6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}) i) #

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #