Làm thế nào để giải 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Câu trả lời:

Chúng ta có thể giải quyết câu hỏi này bằng đồ họa.

Giải trình:

Phương trình đã cho # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # có thể được viết lại thành

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Bây giờ lấy hai cái này làm các hàm riêng biệt

#f (x) = 2e ^ (x) # và #g (x) = 7-2x # và vẽ đồ thị của chúng; của chúng giao điểm sẽ là dung dịch theo phương trình đã cho # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Điều này được hiển thị dưới đây: -

Câu trả lời:

Điều này vượt ra ngoài đại số trung học, và cách tốt nhất để giải quyết nó là hỏi Wolfram Alpha, người trả lời #x khoảng.94 #.

Giải trình:

Gỡ rối

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Những câu hỏi như thế này nói chung rất khó và câu trả lời phụ thuộc vào việc bạn học Đại số ở trường trung học hay chuyên sâu hơn về toán.

Đối với trường trung học, cách tiếp cận tốt nhất là chỉ cần thử một vài con số nhỏ và xem chúng có hiệu quả không. (Điều này hiệu quả với nhiều, nhiều vấn đề toán học ở trường trung học, fyi.) Thực sự chỉ có một lý trí # x # điều đó làm cho # e ^ x # hợp lý, # x = 0 #, đó không phải là một giải pháp. Vì vậy, đoán không đi làm ở đây.

Nếu một xấp xỉ là đủ tốt, chúng ta có thể vẽ biểu đồ hoặc biểu đồ # 2e ^ x # và # 7-2x # và xem nơi họ gặp nhau.

Dù trình độ của bạn là gì, khi phải đối mặt với một người khó khăn như thế này, thường là một động thái tốt để hỏi chuyên gia có sẵn, đó là Wolfram Alpha.

Chúng tôi thấy Alpha đã cho chúng tôi một câu trả lời gần đúng, khá gần với 1 và thậm chí là một công thức sử dụng W (x), mà Nhật ký sản phẩm Lambert, thường không phải là một phần của toán học trung học.

Không có câu trả lời bằng cách sử dụng các chức năng và hoạt động thường xuyên mà chúng ta biết về Đại số trung học. Điều đó thường đúng khi chúng ta thêm một thuật ngữ với # x # theo cấp số nhân # x # xuất hiện như một công suất tuyến tính hoặc cao hơn.

Đó là kết thúc của câu trả lời cho hầu hết các sinh viên. Nhưng chúng ta có thể đi sâu hơn. Nhật ký sản phẩm là một chức năng thú vị.Xét phương trình

#k = xe ^ x #

Ở bên phải là một chức năng ngày càng tăng của # x #, vì vậy nó sẽ vượt qua # k # sớm hay muộn Ghi nhật ký không thực sự đưa chúng ta đến bất cứ nơi nào: #ln k = ln x + x #.

Chúng ta cần một cái gì đó giống như một bản ghi, nhưng không phải là một nghịch đảo của # e ^ x #. Nó cần phải là nghịch đảo của # xe ^ x #. Đó gọi là Nhật ký sản phẩm hoặc chức năng Lambert W, được định nghĩa là:

#k = xe ^ x # có giải pháp thực sự #x = W (k) #.

Chúng tôi sẽ hạn chế sự chú ý của chúng tôi vào thực tế. Thật vui khi thử khám phá # W '#s tính chất. Cái cơ bản chúng ta đưa ra là

#W (xe ^ x) = x #

Chúng ta hãy để # x = các bạn ^ y # sau đây #W (x) = y #. Hiện nay

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Thật tuyệt. Làm thế nào về

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Lấy nhật ký, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) tứ giác giả định nhật ký được xác định

Bây giờ bạn thấy những gì nó hoạt động với W, hãy xem liệu bạn có thể sử dụng nó để giải phương trình hay để kiểm tra giải pháp của Alpha

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #