Bạn có thể điều trị #tôi# như bất kỳ hằng số như # C #. Vì vậy, đạo hàm của #tôi# sẽ là #0#.
Tuy nhiên, khi xử lý các số phức, chúng ta phải cẩn thận với những gì chúng ta có thể nói về các hàm, đạo hàm và tích phân.
Thực hiện một chức năng #f (z) #, Ở đâu # z # là một số phức (có nghĩa là, # f # có một miền phức tạp). Sau đó là đạo hàm của # f # được định nghĩa theo cách tương tự như trường hợp thực tế:
# f ^ số nguyên tố (z) = lim_ (h đến 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) #
Ở đâu # h # bây giờ là một số phức Nhìn thấy các số phức có thể được coi là nằm trong một mặt phẳng, được gọi là mặt phẳng phức, chúng ta có kết quả của giới hạn này phụ thuộc vào cách chúng ta chọn thực hiện # h # đi đến #0# (đó là, với con đường nào chúng tôi đã chọn để làm như vậy).
Trong trường hợp không đổi # C #, thật dễ dàng để thấy rằng nó phái sinh là #0# (bằng chứng tương tự như trường hợp thực tế).
Ví dụ, lấy # f # được #f (z) = thanh (z) #, đó là, # f # lấy một số phức # z # thành liên hợp #bar (z) #.
Sau đó, đạo hàm của # f # Là
# f ^ Prime (z) = lim_ (h đến 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) = lim_ (h đến 0) (bar (z + h) -bar (z)) / (h) = lim_ (h đến 0) (bar (h) + bar (z) -bar (z)) / (h) = lim_ (h đến 0) (bar (h)) / (h) #
Cân nhắc thực hiện # h # đi đến #0# chỉ sử dụng số thực. Vì liên hợp phức của một số thực là chính nó, chúng ta có:
# f ^ Prime (z) = lim_ (h đến 0) (bar (h)) / (h) = = lim_ (h đến 0) h / h = = lim_ (h đến 0) 1 = 1 #
Bây giờ, làm # h # đi đến #0# chỉ sử dụng số ảo thuần túy (số của mẫu # ai #). Kể từ khi liên hợp của một số tưởng tượng thuần túy # w # Là # -w #, chúng ta có:
# f ^ Prime (z) = lim_ (h đến 0) (bar (h)) / (h) = = lim_ (h đến 0) -h / h = = lim_ (h đến 0) -1 = -1 #
Và do đó #f (z) = thanh (z) # không có đạo hàm.
