Câu hỏi # 35a7e

Câu trả lời:

Như đã đề cập trong các ý kiến dưới đây, đây là loạt MacLaurin cho #f (x) = cos (x) #và chúng tôi biết rằng điều này hội tụ # (- oo, oo) #. Tuy nhiên, nếu bạn muốn xem quy trình:

Giải trình:

Vì chúng ta có một giai thừa trong mẫu số, chúng tôi sử dụng bai kiê m tra ti lê , vì điều này làm cho việc đơn giản hóa một chút dễ dàng hơn. Công thức này là:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Nếu đây là <1, chuỗi của bạn hội tụ

Nếu đây là> 1, chuỗi của bạn sẽ phân kỳ

Nếu đây là = 1, bài kiểm tra của bạn không có kết quả

Vì vậy, hãy làm điều này:

#lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Lưu ý: Hãy thật cẩn thận về cách bạn cắm (k + 1). 2k sẽ biến thành 2 (k + 1), KHÔNG phải 2k + 1.

Tôi nhân với sự đối ứng của # x ^ (2k) / ((2k)!) # thay vì chia chỉ để làm cho công việc dễ dàng hơn một chút.

Bây giờ, hãy để đại số. Do giá trị tuyệt đối, các điều khoản xen kẽ của chúng tôi (tức là # (- 1) ^ k #) sẽ hủy bỏ, vì chúng tôi sẽ luôn có câu trả lời tích cực:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Chúng tôi có thể hủy bỏ # x ^ (2k) #'S:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #

Bây giờ chúng ta cần hủy bỏ giai thừa.

Nhớ lại rằng # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Cũng thế, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Để ý:

# (2k)! = màu (đỏ) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * màu (đỏ) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Như bạn thấy, chúng tôi # (2k)! # về cơ bản là một phần của # (2k + 2)! #. Chúng tôi có thể sử dụng điều này để hủy bỏ mọi điều khoản phổ biến:

# ((2k)!) / ((2k + 2)!) = Hủy (màu (đỏ) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * hủy (màu (đỏ) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Cái lá này

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

Bây giờ, chúng ta có thể đánh giá giới hạn này. Lưu ý rằng vì chúng tôi không dùng giới hạn này đối với # x #, chúng ta có thể tính đến nó:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Vì vậy, như bạn có thể thấy, giới hạn này = 0, nhỏ hơn 1. Bây giờ, chúng tôi tự hỏi: có giá trị nào của # x # trong đó giới hạn này sẽ là 1? Và câu trả lời là không, vì bất cứ điều gì nhân với 0 là 0.

Vì vậy kể từ #lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k))) <1 # cho tất cả các giá trị của # x #, chúng ta có thể nói rằng nó có một khoảng hội tụ của # (- oo, oo) #.

Mong rằng đã giúp:)