Làm thế nào để tính toán điều này? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Ví dụ

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

Thật không may, hàm bên trong tích phân sẽ không tích hợp vào một thứ không thể biểu thị theo các hàm cơ bản. Bạn sẽ phải sử dụng các phương pháp số để làm điều này.

Tôi có thể chỉ cho bạn cách sử dụng mở rộng chuỗi để có được một giá trị gần đúng.

Bắt đầu với loạt hình học:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n # cho # rlt1 #

Bây giờ tích hợp với # r # và sử dụng các giới hạn #0# và # x # để có được điều này:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Tích hợp phía bên tay trái:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Bây giờ tích hợp phía bên tay phải bằng cách tích hợp thuật ngữ theo thuật ngữ:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Vì vậy, nó theo sau:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Bây giờ chia cho # x #:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

Vì vậy, bây giờ chúng ta có biểu thức chuỗi lũy thừa cho chức năng ban đầu chúng ta bắt đầu. Cuối cùng, chúng ta có thể tích hợp lại để có được:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 /… dx #

Tích hợp thuật ngữ tay phải theo thuật ngữ cho chúng ta:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

Đánh giá các giới hạn cho bốn điều khoản sẽ cho chúng ta một giá trị gần đúng:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~ ~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Bây giờ, đây chỉ là bốn điều khoản. Nếu bạn muốn một số chính xác hơn, chỉ cần sử dụng nhiều thuật ngữ hơn trong chuỗi. Ví dụ: đi đến nhiệm kỳ thứ 100:

# int_0 ^ 1ln (1-x) /x~~-1.63498#

Bên cạnh đó, nếu bạn thực hiện cùng một quy trình chính xác nhưng sử dụng ký hiệu tổng (nghĩa là có sigma lớn thay vì viết ra các điều khoản của chuỗi), bạn sẽ thấy rằng:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

đó chỉ là chức năng Riemann-Zeta của 2, tức là:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

Chúng tôi thực sự đã biết giá trị của điều này là: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Do đó, giá trị chính xác của tích phân có thể được suy ra là:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #