Chứng tỏ rằng 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), cho n> 1?

Câu trả lời:

Phía dưới

Giải trình:

Để chỉ ra rằng bất đẳng thức là đúng, bạn sử dụng quy nạp toán học

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # cho #n> 1 #

Bước 1: Chứng minh đúng cho # n = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

Kể từ khi # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, sau đó #LHS> RHS #. Vì vậy, nó đúng cho # n = 2 #

Bước 2: Giả sử đúng cho # n = k # Trong đó k là một số nguyên và #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

Bước 3: Khi nào # n = k + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

I E # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

#> = sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # từ (1) theo giả định

=# sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

Kể từ khi #k> 1 #, sau đó # -1 / sqrt (k + 1) <0 # và kể từ khi # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, sau đó # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # vì thế # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

Bước 4: Bằng chứng về cảm ứng toán học, bất đẳng thức này đúng với tất cả các số nguyên # n # lớn hơn #1#

Sự bất bình đẳng như đã nêu là sai.

Ví dụ: cho #n = 3 #:

#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (khoảng 2.3) hủy (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (khoảng 2,8) #

Một mâu thuẫn.