Phân biệt và đơn giản hóa xin vui lòng giúp đỡ?

Câu trả lời:

# x ^ (tanx) (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Giải trình:

bày tỏ # x ^ tanx # như sức mạnh của e:

# x ^ tanx = e ^ ln (x ^ tanx) = e ^ (lnxtanx) #

# = d / dxe ^ (lnxtanx) #

Sử dụng quy tắc chuỗi, # d / dxe ^ (lnxtanx) = (de ^ u) / (du) ((du) / dx), # Ở đâu # u = lnxtanx # và # d / (du) (e ^ u) = e ^ u #

# = (d / dx (lnxtanx)) e ^ (lnxtanx) #

bày tỏ # e ^ (lnxtanx) # như một sức mạnh của x:

# e ^ (lnxtanx) = e ^ ln (x ^ tanx) = x ^ tanx #

# = x ^ tanx. d / (dx) (lnxtanx) #

Sử dụng quy tắc sản phẩm, # d / (dx) (uv) = v (du) / (dx) + u (dv) / (dx) #, Ở đâu # u = lnx # và # v = tanx #

# = lnx d / (dx) (tanx) + d / (dx) (lnxtanx) x ^ tanx #

Đạo hàm của # tanx # Là # giây ^ 2x #

# = x ^ tanx (giây ^ 2xlnx + (d / (dx) (lnx)) tanx) #

Đạo hàm của # lnx # Là # 1 / x #

# = x ^ tanx (lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx) #

Câu trả lời:

# dy / dx = (giây ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) x ^ tan (x) #

Giải trình:

Chúng ta sẽ sử dụng phân biệt logarit - nghĩa là chúng ta sẽ lấy nhật ký tự nhiên của cả hai bên và phân biệt ngầm w.r.t # x #

Được: # y = x ^ tan (x) #

Lấy nhật ký tự nhiên (# ln #) của cả hai bên:

#ln (y) = ln (x ^ tan (x)) #

Áp dụng quy tắc sức mạnh của nhật ký tự nhiên #ln (a) ^ b = b * ln (a) #

#ln (y) = tan (x) * ln (x) #

Phân biệt cả hai bên ngầm w.r.t # x #

# 1 / y * dy / dx = màu (xanh dương) (giây ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) # (Xem công việc dưới đây)

Để phân biệt RHS, chúng ta sẽ cần sử dụng quy tắc sản phẩm!

Chúng ta có # d / dx tan (x) * ln (x) #

Để cho #f (x) = tan (x) # và #g (x) = ln (x) #

Như vậy #f '(x) = giây ^ 2 (x) # và #g '(x) = 1 / x #

Theo quy tắc sản phẩm: # d / dx f (x) * g (x) = f '(x) g (x) + f (x) g (x) #

Thay thế chúng tôi nhận được:

# d / dx tan (x) * ln (x) = giây ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) * 1 / x #

Đơn giản hóa …

# d / dx tan (x) * ln (x) = giây ^ 2 (x) * ln (x) + tan (x) / x #

Quay trở lại những gì chúng ta đã có trước đây:

# 1 / y * dy / dx = giây ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x #

Chúng tôi muốn cô lập # dy / dx # vì vậy chúng tôi nhân cả hai bên # y #

#celoncolor (đỏ) y * 1 / cancely * dy / dx = (sec ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * màu (đỏ) y #

# dy / dx = (giây ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * màu (đỏ) y #

Chúng tôi muốn viết mọi thứ theo # x # nhưng chúng ta có cái này # màu (đỏ) y # theo cách Bạn có thể nhớ lại rằng # màu (đỏ) y # được trao cho chúng tôi ngay từ đầu. # màu (đỏ) (y = x ^ tan (x)) #

#: dy / dx = (giây ^ 2 (x) ln (x) + tan (x) / x) * x ^ tan (x) #