Làm thế nào để bạn chỉ ra rằng đạo hàm của một hàm lẻ là chẵn?

Đối với một chức năng nhất định # f #, đạo hàm của nó được đưa ra bởi

#g (x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #

Bây giờ chúng ta cần chỉ ra rằng, nếu #f (x) # là một hàm lẻ (nói cách khác, # -f (x) = f (-x) # cho tất cả # x #) sau đó #g (x) # là một hàm chẵn (#g (-x) = g (x) #).

Với ý nghĩ này, chúng ta hãy xem những gì #g (-x) # Là:

#g (-x) = lim_ (h-> 0) (f (-x + h) -f (-x)) / h #

Kể từ khi #f (-x) = - f (x) #, ở trên là bằng

#g (-x) = lim_ (h-> 0) (- f (x-h) + f (x)) / h #

Xác định một biến mới # k = -h #. Như # h-> 0 #, cũng vậy # k-> 0 #. Do đó, những điều trên trở thành

#g (-x) = lim_ (k-> 0) (f (x + k) -f (k)) / k = g (x) #

Do đó, nếu #f (x) # là một hàm lẻ, đạo hàm của nó #g (x) # sẽ là một hàm chẵn

# "Q.E.D." #