Làm thế nào để bạn sử dụng thử nghiệm so sánh giới hạn cho tổng 1 / (n + sqrt (n)) cho n = 1 đến n = oo?

Câu trả lời:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # phân kỳ, điều này có thể được nhìn thấy bằng cách so sánh nó với #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

Giải trình:

Vì chuỗi này là tổng của các số dương, nên chúng ta cần tìm một chuỗi hội tụ #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # như vậy mà #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # và kết luận rằng chuỗi của chúng tôi là hội tụ, hoặc chúng tôi cần tìm một chuỗi khác nhau sao cho #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # và kết luận loạt của chúng tôi là khác nhau là tốt.

Chúng tôi nhận xét như sau:

Dành cho

#n> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

vì thế

# n + sqrt (n) <= 2n #.

Vì thế

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Vì nó được biết đến rằng #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # phân kỳ, vì vậy #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # cũng phân kỳ, vì nếu nó sẽ hội tụ, thì # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # cũng sẽ hội tụ, và đây không phải là trường hợp.

Bây giờ sử dụng thử nghiệm so sánh, chúng tôi thấy rằng #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # phân kỳ.

Bài kiểm tra so sánh giới hạn có hai loạt, # suma_n # và # sumb_n # Ở đâu #a_n> = 0 #, # b_ngt0 #.

Nếu #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # Ở đâu #L> 0 # và là hữu hạn, sau đó cả hai chuỗi hội tụ hoặc cả hai chuỗi phân kỳ.

Chúng ta nên để # a_n = 1 / (n + sqrtn) #, trình tự từ loạt đã cho. Tốt # b_n # sự lựa chọn là chức năng áp đảo # a_n # tiếp cận như # n # trở nên lớn Vì vậy hãy # b_n = 1 / n #.

Lưu ý rằng # sumb_n # phân kỳ (đó là loạt điều hòa).

Vì vậy, chúng tôi thấy rằng #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #. Tiếp tục bằng cách chia qua # n / n #, điều này trở thành #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Vì giới hạn là #1#, đó là #>0# và được định nghĩa, chúng ta thấy rằng # suma_n # và # sumb_n # cả hai sẽ phân kỳ hoặc hội tụ. Vì chúng ta đã biết tại # sumb_n # phân kỳ, chúng ta có thể kết luận rằng # suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # phân kỳ là tốt.