Làm thế nào để bạn giải quyết tích phân này?

Câu trả lời:

#int ("d" x) / (x ^ 2-1) ^ 2 #

# = 1/4 (ln (x + 1) -ln (x-1) - (2x) / (x ^ 2-1)) + C #

Giải trình:

#int ("d" x) / (x ^ 2-1) ^ 2 #

# = int ("d" x) / ((x + 1) ^ 2 (x-1) ^ 2) #

Bây giờ, hãy thực hiện các phân số một phần. Giả sử

# 1 / ((x + 1) ^ 2 (x-1) ^ 2) = A / (x + 1) + B / (x + 1) ^ 2 + C / (x-1) + D / (x -1) ^ 2 #

cho một số hằng số #ABCD#.

Sau đó, # 1 = A (x + 1) (x-1) ^ 2 + B (x-1) ^ 2 + C (x + 1) ^ 2 (x-1) + D (x + 1) ^ 2 #

Mở rộng để có được

# 1 = (A + C) x ^ 3 + (B + C + D-A) x ^ 2 + (2D-2B-A-C) x + A + B-C + D #.

Các hệ số tương đương:

# {(A + C = 0), (B + C + D-A = 0), (2D-2B-A-C = 0), (A + B-C + D = 1):} #

Giải quyết cho # A = B = D = 1/4 # và # C = -1 / 4 #.

Do đó, tích phân ban đầu của chúng tôi là

#int (1 / (4 (x + 1)) + 1 / (4 (x + 1) ^ 2) -1 / (4 (x-1)) + 1 / (4 (x-1) ^ 2)) "d" x #

# = 1 / 4ln (x + 1) -1 / (4 (x + 1)) - 1 / 4ln (x-1) -1 / (4 (x-1)) + C #

Đơn giản hóa:

# = 1/4 (ln (x + 1) -ln (x-1) - (2x) / (x ^ 2-1)) + C #