Câu hỏi số 27939

Câu trả lời:

Như Sudip Sinha đã chỉ ra # -1 + sqrt3i # KHÔNG phải là số không. (Tôi bỏ qua việc kiểm tra điều đó.) Các số không khác là # 1-sqrt3 tôi # và #1#.

Giải trình:

Bởi vì tất cả các hệ số là số thực, bất kỳ số 0 tưởng tượng nào cũng phải xảy ra trong các cặp liên hợp.

Vì thế, # 1-sqrt3 tôi # là một số không.

Nếu # c # là số 0 rồi # z-c # là một yếu tố, vì vậy chúng tôi có thể nhân lên

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # để có được # z ^ 2-2z + 4 #

và sau đó chia #P (z) # bởi bậc hai đó.

Nhưng nó nhanh hơn để xem xét số không hợp lý có thể cho # P # Đầu tiên. Hoặc thêm các hệ số để thấy rằng #1# cũng là một con số không.

Câu trả lời:

#1# và # 1 - sqrt3 i #

Giải trình:

Có một lỗi trong câu hỏi của bạn. Rễ nên # 1 + sqrt3 i #. Bạn có thể xác minh điều này bằng cách đặt giá trị trong biểu thức. Nếu nó là một gốc, biểu thức sẽ ước tính bằng không.

Biểu thức có tất cả các hệ số thực, do đó, theo Định lý Rễ liên hợp phức (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem), chúng ta có gốc phức khác # 1 - sqrt3 i #, Rõ ràng, gốc thứ ba (nói # a #) phải là thực, vì nó không thể có liên hợp phức tạp; nếu không sẽ có 4 gốc, điều này là không thể đối với phương trình bậc 3.

chú thích

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Kể từ khi # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Chúng tôi sẽ cố gắng để có được yếu tố này trong biểu thức.

Chúng tôi có thể viết:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Câu trả lời:

Là một giới thiệu, tôi nghĩ rằng gốc nên được # màu (màu xanh) (1 + sqrt3) # và không # màu (đỏ) (- 1 + sqrt3) #

Trên cơ sở đó câu trả lời của tôi là:

#z trong {1, "" 1 + sqrt3 "," 1-sqrt3} #

Giải trình:

Bằng cách sử dụng ý tưởng của liên hợp phức tạp và một số khác thủ đoạn tuyệt vời.

#P (z) # là một đa thức bậc #3#. Điều này ngụ ý rằng nó chỉ nên có #3# nguồn gốc.

Một sự thật thú vị về những gốc rễ phức tạp là chúng không bao giờ xảy ra một mình. Chúng luôn xảy ra trong cặp liên hợp.

Vì vậy nếu # 1 + isqrt3 # là một gốc, sau đó liên hợp của nó: # 1-isqrt3 # chắc chắn là một gốc quá!

Và vì chỉ còn một gốc nữa, chúng ta có thể gọi gốc đó # z = a #.

Nó không phải là một số phức vì, rễ phức tạp luôn xảy ra theo cặp.

Và vì đây là lần cuối cùng của #3# rễ, không thể có cặp nào khác sau cái đầu tiên!

Cuối cùng, các yếu tố của #P (z) # dễ dàng được tìm thấy # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "và" (z-a) #

Lưu ý: Lưu ý rằng sự khác biệt giữa một gốc và một yếu tố là:

- Một gốc có thể là # z = 1 + i #

Nhưng yếu tố tương ứng sẽ là # z- (1 + i) #

Bí quyết thứ hai là, bằng cách bao thanh toán #P (z) # chúng ta sẽ nhận được một cái gì đó như thế này:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Tiếp theo, mở rộng niềng răng, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

Tiếp theo, chúng ta đánh đồng điều này với đa thức ban đầu #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Vì hai đa thức là giống hệt nhau, chúng ta đánh đồng các hệ số của # z ^ 3 #, # z ^ 2 #, # z ^ 1 #và # z ^ 0 #(thuật ngữ không đổi) ở hai bên,

Trên thực tế, chúng ta chỉ cần chọn một phương trình và giải nó cho # a #

Đánh đồng các số hạng không đổi, # => - 4a = -4 #

# => a = 1 #

Do đó, gốc cuối cùng là # màu (màu xanh) (z = 1) #