Arclength của (t-3, t + 4) trên t trong [2,4] là gì?

Câu trả lời:

# A = 2sqrt2 #

Giải trình:

Công thức cho chiều dài hồ quang tham số là:

# A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt #

Chúng tôi bắt đầu bằng cách tìm hai dẫn xuất:

# dx / dt = 1 # và # dy / dt = 1 #

Điều này cho thấy độ dài cung là:

# A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = sqrt2t _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 #

Trong thực tế, vì hàm tham số rất đơn giản (nó là một đường thẳng), chúng ta thậm chí không cần công thức tích phân. Nếu chúng ta vẽ đồ thị của hàm trong biểu đồ, chúng ta chỉ có thể sử dụng công thức khoảng cách thông thường:

# A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt (4 * 2) = 2sqrt2 #

Điều này cho chúng ta kết quả tương tự như tích phân, cho thấy một trong hai phương thức hoạt động, mặc dù trong trường hợp này, tôi khuyên dùng phương pháp đồ họa vì nó đơn giản hơn.