Hình thức triệt để đơn giản nhất của sqrt115 là gì?

Câu trả lời:

Không có hình thức đơn giản hơn

Giải trình:

Với các gốc tự do, bạn cố gắng nhân tố hóa đối số và xem liệu có bất kỳ hình vuông nào có thể được "lấy ra từ dưới gốc" không.

Thí dụ: # sqrt125 = sqrt (5xx5xx5) = sqrt (5 ^ 2) xxsqrt5 = 5sqrt5 #

Trong trường hợp này, không có may mắn như vậy:

# sqrt115 = sqrt (5xx23) = sqrt5xxsqrt23 #

Câu trả lời:

#sqrt (115) # đã ở dạng đơn giản nhất.

Giải trình:

Yếu tố chính của #115# Là:

#115 = 5*23#

Vì không có yếu tố vuông, nên không thể đơn giản hóa căn bậc hai. Có thể diễn đạt nó như một sản phẩm, nhưng điều đó không được tính là đơn giản hơn:

#sqrt (115) = sqrt (5) * sqrt (23) #

#màu trắng)()#

Tiền thưởng

Tương tự với bất kỳ căn bậc hai không hợp lý của một số hữu tỷ, #sqrt (115) # có một phần mở rộng tiếp tục lặp lại:

#sqrt (115) = 10; thanh (1,2,1,1,1,1,1,2,1,20) #

#=10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(20+1/(1+…)))))))))))#

Bạn có thể cắt ngắn việc mở rộng phân đoạn liên tục sớm để đưa ra các xấp xỉ hợp lý cho #sqrt (115) #.

Ví dụ:

#sqrt (115) ~ ~ 10; 1,2,1,1,1,1,1,2,1 #

#= 10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/1))))))))#

#=1126/105#

Trong thực tế, bằng cách cắt ngắn ngay trước khi kết thúc phần lặp lại của phân số tiếp tục, chúng tôi đã tìm thấy xấp xỉ hợp lý đơn giản nhất cho #sqrt (115) # thỏa mãn phương trình của Pell.

Đó là:

#115*105^2 = 1267875#

#1126^2 = 1267876#

chỉ khác nhau bởi #1#.

Điều này làm cho # 1126/105 ~ ~ 10,7bar (238095) # một xấp xỉ hiệu quả cho #sqrt (115) ~ ~ 10.7238052947636 #