Câu hỏi # bfe81

Câu trả lời:

# (ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n-2) = 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 … #

Giải trình:

Chúng tôi biết loạt Maclaurin sau đây cho #ln (x + 1) #:

#ln (x + 1) = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ n = x-x ^ 2/2 + x ^ 3/3 … #

Chúng ta có thể tìm thấy một loạt cho #ln (x ^ 2 + 1) # bằng cách thay thế tất cả # x #với # x ^ 2 #:

#ln (x ^ 2 + 1) = tổng_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n (x ^ 2) ^ n #

Bây giờ chúng ta có thể chia cho # x ^ 2 # để tìm loạt chúng tôi đang tìm kiếm:

# (ln (x ^ 2 + 1)) / x ^ 2 = 1 / x ^ 2sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n) = #

# = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n * x ^ (2n) / x ^ 2 = sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ (n + 1) / nx ^ (2n-2) = #

# = x ^ (2-2) -x ^ (2 * 2-2) / 2 + x ^ (3 * 2-2) / 3-x ^ (4 * 2-2) / 4 … = #

# = 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 … #

đó là loạt chúng tôi đang tìm kiếm.