Làm thế nào để mở rộng trong loạt Maclaurin này? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

Câu trả lời:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n +1) ^ 2 #

Trực quan: Kiểm tra biểu đồ này

Giải trình:

Chúng tôi rõ ràng không thể đánh giá tích phân này vì nó đang sử dụng bất kỳ kỹ thuật tích hợp thông thường nào chúng tôi đã học. Tuy nhiên, vì nó là một tích phân xác định, chúng ta có thể sử dụng chuỗi MacLaurin và thực hiện những gì được gọi là thuật ngữ tích hợp.

Chúng ta sẽ cần tìm loạt MacLaurin. Vì chúng tôi không muốn tìm đạo hàm thứ n của hàm đó, chúng tôi sẽ cần thử và khớp nó với một trong các dòng MacLaurin mà chúng tôi đã biết.

Thứ nhất, chúng tôi không thích # đăng nhập #; chúng tôi muốn làm cho nó một # ln #. Để làm điều này, chúng ta chỉ cần sử dụng thay đổi công thức cơ bản:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Vì vậy chúng tôi có:

# int_0 ^ xln (1-t) / (tln (10)) dt #

Tại sao chúng ta làm việc này? Chà, bây giờ hãy chú ý rằng # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Tại sao điều này trở nên đặc biệt? Tốt, # 1 / (1-x) # là một trong những dòng MacLaurin thường được sử dụng của chúng tôi:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…cho tất cả # x # trên #(-1, 1#

Vì vậy, chúng tôi có thể sử dụng mối quan hệ này để lợi thế của chúng tôi và thay thế #ln (1-t) # với # int-1 / (1-t) dt #, cho phép chúng tôi thay thế # ln # hạn với một loạt MacLaurin. Đặt điều này cùng nhau mang lại:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Đánh giá tích phân:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Hủy bỏ # t # thuật ngữ trong mẫu số:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

Và bây giờ, chúng tôi lấy tích phân xác định mà chúng tôi bắt đầu vấn đề với:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

chú thích: Quan sát làm thế nào bây giờ chúng ta không cần phải lo lắng về việc chia cho số 0 trong vấn đề này, đây là vấn đề chúng ta gặp phải trong tích phân ban đầu do # t # thuật ngữ trong mẫu số. Vì điều này đã bị hủy trong bước trước đó, nó cho thấy sự gián đoạn có thể tháo rời, hoạt động tốt cho chúng tôi.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # đánh giá từ #0# đến # x #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Mặc dù vậy, hãy chắc chắn rằng bạn nhận ra rằng loạt bài này chỉ tốt trong khoảng thời gian #(1, 1#, vì loạt MacLaurin mà chúng tôi sử dụng ở trên chỉ hội tụ trong khoảng này. Kiểm tra biểu đồ này tôi đã thực hiện để có được một ý tưởng tốt hơn về những gì nó trông như thế nào.

Mong rằng đã giúp:)