Làm thế nào để bạn tìm thấy ba thuật ngữ đầu tiên của loạt Maclaurin cho f (t) = (e ^ t - 1) / t bằng cách sử dụng chuỗi Maclaurin của e ^ x?

Chúng tôi biết rằng loạt Maclaurin của # e ^ x # Là

#sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) #

Chúng ta cũng có thể rút ra loạt bài này bằng cách sử dụng bản mở rộng Maclaurin của #f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) # và thực tế là tất cả các dẫn xuất của # e ^ x # vẫn còn # e ^ x # và # e ^ 0 = 1 #.

Bây giờ, chỉ cần thay thế loạt trên vào

# (e ^ x-1) / x #

# = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x #

# = (1 + tổng_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x #

# = (sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X #

# = sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) #

Nếu bạn muốn chỉ mục bắt đầu tại # i = 0 #, chỉ cần thay thế # n = i + 1 #:

# = sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1)!) #

Bây giờ, chỉ cần đánh giá ba điều khoản đầu tiên để có được

# ~ ~ 1 + x / 2 + x ^ 2/6 #