Độ dài cung của r (t) = (t, t, t) trên thiếc [1,2] là bao nhiêu?

Câu trả lời:

#sqrt (3) #

Giải trình:

Chúng ta tìm kiếm độ dài cung của hàm vectơ:

# bb (ul r (t)) = << t, t, t >> # cho #t trong 1,2 #

Mà chúng ta có thể dễ dàng đánh giá bằng cách sử dụng:

# L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) | | dt #

Vì vậy, chúng tôi tính toán đạo hàm, # bb (ul (r ') (t)) #:

# bb (ul r '(t)) = << 1,1,1 >> #

Do đó, chúng tôi đạt được chiều dài cung:

# L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt #

# = sqrt (3) t _1 ^ 2 #

# = sqrt (3) (2-1) #

# = sqrt (3) #

Kết quả tầm thường này sẽ không gây ngạc nhiên vì phương trình ban đầu đã cho là một đường thẳng.