Độ dài cung của r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) trên thiếc [1, ln2] là bao nhiêu?

Câu trả lời:

Chiều dài vòng cung #~~ 2.42533 # (5đp)

Độ dài cung là âm do giới hạn dưới #1# lớn hơn giới hạn trên của # ln2 #

Giải trình:

Chúng ta có một hàm vectơ tham số, được cho bởi:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

Để tính độ dài cung, chúng ta sẽ cần đạo hàm vectơ, chúng ta có thể tính toán bằng quy tắc sản phẩm:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

Sau đó, chúng tôi tính toán độ lớn của vectơ đạo hàm:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Sau đó, chúng ta có thể tính toán độ dài cung bằng cách sử dụng:

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) | dt #

# = int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) dt #

Không chắc chúng ta có thể tính tích phân này bằng kỹ thuật phân tích, vì vậy thay vì sử dụng Phương pháp số, chúng ta có được một xấp xỉ:

# L ~ ~.42.42533 # (5đp)

Độ dài cung là âm do giới hạn dưới #1# lớn hơn giới hạn trên của # ln2 #