Hai góc của một tam giác có các góc là (5 pi) / 12 và (pi) / 12. Nếu một cạnh của tam giác có độ dài bằng 9 thì chu vi của tam giác dài nhất có thể là bao nhiêu?

Câu trả lời:

# P = 9 (3 + sqrt3 + sqrt6 + sqrt2) khoảng77.36 #.

Giải trình:

Trong # tam giác #, để cho # A = (5pi) / 12, B = pi / 12 #. Sau đó

# C = pi-A-B #

# C = (12pi) / 12- (5pi) / 12-pi / 12 #

# C = (6pi) / 12 = pi / 2 #.

Trong tất cả các tam giác, cạnh ngắn nhất luôn đối diện với góc ngắn nhất. Tối đa hóa chu vi có nghĩa là đặt giá trị lớn nhất mà chúng ta biết (9) vào vị trí nhỏ nhất có thể (ngược lại # gócB #). Ý nghĩa cho chu vi của # tam giác # được tối đa hóa, # b = 9 #.

Sử dụng luật của tội lỗi, chúng ta có

# sinA / a = sinB / b = sinC / c #

Giải quyết để # a #, chúng tôi nhận được:

# a = (bsinA) / sinB = (9sin ((5pi) / 12)) / sin (pi / 12) = (9 (sqrt6 + sqrt2) // 4) / ((sqrt6-sqrt2) // 4) = … = 9 (2 + sqrt3) #

Tương tự, giải quyết cho # c # sản lượng

# c = (bsinC) / sinB = (9sin (pi / 2)) / (sin (pi / 12)) = (9 (1)) / ((sqrt6-sqrt2) // 4) = … = 9 (sqrt6 + sqrt2) #

Chu vi # P # của # tam giác # là tổng của cả ba mặt:

# P = màu (cam) a + màu (xanh dương) b + màu (xanh lá cây) c #

# P = màu (cam) (9 (2 + sqrt3)) + màu (xanh dương) 9 + màu (xanh lá cây) (9 (sqrt6 + sqrt2)) #

# P = 9 (2 + sqrt3 + 1 + sqrt6 + sqrt2) #

# P = 9 (3 + sqrt3 + sqrt6 + sqrt2) khoảng77.36 #