Câu hỏi # ecc3a

Câu trả lời:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Giải trình:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Câu trả lời:

#int 3 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Giải trình:

Bất cứ khi nào chúng ta có một bậc hai trong mẫu số và không # x #Trong tử số, chúng tôi muốn lấy tích phân thành dạng sau:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có thể làm điều này bằng cách hoàn thành hình vuông và sau đó sử dụng thay thế.

# x ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1/4 + k #

# k = 3/4 #

# x ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 3int 1/4 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Chúng tôi muốn giới thiệu một sự thay thế u sao cho:

# (x + 1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

Chúng ta có thể giải quyết cho # x # để tìm ra sự thay thế này cần phải là gì:

# x + 1/2 = sqrt3 / 2u #

# x = sqrt3 / 2u-1/2 #

Hòa nhập với # u #, chúng tôi nhân với đạo hàm của # x # đối với # u #:

# dx / (du) = sqrt3 / 2 #

# 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = #

# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C #

Bây giờ chúng ta có thể giải quyết cho # u # về mặt # x # để tái lập:

# u = (2x + 1) / sqrt3 #

Điều này có nghĩa là câu trả lời cuối cùng của chúng tôi là:

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #