Giải phương trình vi phân: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y? Thảo luận loại phương trình vi phân này là gì, và khi nào nó có thể phát sinh?

Câu trả lời:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Giải trình:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y #

viết tốt nhất là

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 tam giác qquad #

cho thấy đây là phương trình vi phân đồng nhất bậc hai tuyến tính

nó có phương trình đặc trưng

# r ^ 2 8 r + 16 = 0 #

có thể giải quyết như sau

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

Đây là một gốc lặp đi lặp lại vì vậy giải pháp chung là ở dạng

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

đây không phải là dao động và mô hình một số loại hành vi theo cấp số nhân thực sự phụ thuộc vào giá trị của A và B. Người ta có thể đoán đó có thể là một nỗ lực để mô hình hóa tương tác dân số hoặc động vật ăn thịt / con mồi nhưng tôi thực sự không thể nói gì cụ thể.

nó cho thấy sự bất ổn và đó là tất cả những gì tôi thực sự có thể nói về nó

Câu trả lời:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Giải trình:

Phương trình vi phân

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0 #

là một phương trình hệ số hằng số đồng nhất tuyến tính.

Đối với các phương trình, giải pháp chung có cấu trúc

#y = e ^ {lambda x} #

Thay thế chúng ta có

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0 #

Đây # e ^ {lambda x} ne 0 # vì vậy các giải pháp phải tuân theo

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Giải quyết chúng tôi có được

# lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Khi rễ lặp lại, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # cũng là giải pháp. Trong trường hợp # n # rễ lặp đi lặp lại, chúng ta sẽ có giải pháp:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # cho # i = 1,2, cdots, n #

Vì vậy, để duy trì số lượng điều kiện ban đầu, chúng tôi đưa chúng vào như các giải pháp độc lập.

Trong trường hợp này, chúng tôi có

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

kết quả trong

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

Những phương trình xuất hiện khi mô hình hóa các hệ thống tham số gộp tuyến tính giống như các hệ thống được tìm thấy trong lý thuyết mạch tuyến tính hoặc cơ học tuyến tính. Các phương trình đó thường được xử lý bằng các phương pháp đại số hoạt động như phương pháp Laplace Transform