Vâng, tôi hiểu rồi
Có rất nhiều quy tắc cơ học lượng tử bị phá vỡ trong câu hỏi này …
- Các
# phi_0 # , vì chúng tôi đang sử dụng các giải pháp giếng tiềm năng vô hạn, sẽ tự động biến mất …#n = 0 # , vì thế#sin (0) = 0 # .
Và đối với bối cảnh, chúng tôi đã để
#phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) # …
-
Nó là Không thể nào để viết câu trả lời về
# E_0 # bởi vì#n = 0 # KHÔNG tồn tại cho tiềm năng vô hạn. Trừ khi bạn muốn hạt tan biến , Tôi phải viết nó dưới dạng# E_n # ,#n = 1, 2, 3,… # … -
Năng lượng là một hằng số của chuyển động, tức là
# (d << E >>) / (dt) = 0 # …
Vậy bây giờ…
#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #
Giá trị kỳ vọng là một hằng số của chuyển động, vì vậy chúng tôi không quan tâm mấy giờ
# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # cho một số#n = 1, 2, 3,… #
Trên thực tế, chúng ta đã biết nó nên như thế nào, vì Hamilton cho giếng tiềm năng vô hạn một chiều là thời gian ĐỘC LẬP …
#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #
# (delhatH) / (delt) = 0 #
và
#color (màu xanh) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) # nơi chúng ta đã để
#Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) # . Một lần nữa, tất cả các yếu tố pha đều bị loại bỏ và chúng tôi lưu ý rằng các điều khoản ngoài đường chéo về 0 do tính trực giao của# phi_n # .
Mẫu số là chỉ tiêu của
#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 # .
Vì thế,
# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) hủy (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) hủy (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) hủy (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2pix) / L) hủy (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #
Áp dụng các dẫn xuất:
# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 tội lỗi ((2pix) / L) dx #
Hằng số trôi nổi:
# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #
Và tích phân này được biết đến vì những lý do vật lý nằm giữa
# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #
# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #
# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #
# = màu (xanh dương) (14/5 E_1) #
Câu trả lời:
Giải trình:
Mỗi trạng thái đứng yên tương ứng với giá trị năng lượng
Vì vậy, hàm sóng bắt đầu
tiến hóa theo thời gian
Do đó, giá trị kỳ vọng năng lượng tại thời điểm
nơi chúng tôi đã sử dụng thực tế là
Điều này vẫn cho chúng tôi chín điều khoản. Tuy nhiên, tính toán cuối cùng được đơn giản hóa rất nhiều bởi thực tế là các hàm riêng năng lượng được chuẩn hóa, I E. họ vâng lời
Điều này có nghĩa là trong chín tích phân, chỉ có ba tồn tại và chúng ta có được
Sử dụng kết quả tiêu chuẩn mà
Chú thích:
- Trong khi các hàm riêng năng lượng riêng lẻ phát triển theo thời gian bằng cách chọn một yếu tố pha, thì hàm sóng tổng thể không làm khác với yếu tố ban đầu bởi chỉ là một yếu tố pha - đây là lý do tại sao nó không còn là trạng thái đứng yên.
- Các tích phân liên quan là như thế
# int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / t} vô cùng psi_i (x) psi_j (x) dx # và chúng trông giống như chúng phụ thuộc thời gian. Tuy nhiên, các tích phân duy nhất tồn tại là những tích hợp cho
# i = j # - và đây chính xác là những cái mà sự phụ thuộc thời gian hủy bỏ. - Kết quả cuối cùng phù hợp với thực tế là
# gì {H} # được bảo tồn - mặc dù trạng thái không phải là trạng thái đứng yên - giá trị kỳ vọng năng lượng không phụ thuộc vào thời gian. - Hàm sóng ban đầu đã được chuẩn hóa từ
# (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # và sự chuẩn hóa này được bảo tồn trong thời gian tiến hóa. - Chúng ta có thể đã cắt giảm rất nhiều công việc nếu chúng ta đã sử dụng kết quả cơ học lượng tử tiêu chuẩn - nếu một hàm sóng được mở rộng dưới dạng
#psi = sum_n c_n phi_n # nơi# phi_n # là các hàm riêng của toán tử Hermiti# gì {A} # ,#hat {A} phi_n = lambda_n phi_n # , sau đó# <mũ {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n # , cung cấp, tất nhiên rằng các tiểu bang được bình thường hóa đúng.