Đặt G là một nhóm và H G. Chứng minh rằng tập hợp đúng duy nhất của H trong G là phần phụ của G là chính H.

Câu trả lời:

Giả sử câu hỏi (như được làm rõ bởi các ý kiến) là:

Để cho # G # là một nhóm và #H leq G #. Chứng minh rằng tập hợp đúng duy nhất của # H # trong # G # đó là một nhóm nhỏ của # G # Là # H # chinh no.

Giải trình:

Để cho # G # là một nhóm và #H leq G #. Đối với một yếu tố #g trong G #, tập hợp đúng của # H # trong # G # được định nghĩa là:

# => Hg = {hg: h trong H} #

Chúng ta hãy giả định rằng #Hg leq G #. Sau đó là yếu tố nhận dạng #e trong Hg #. Tuy nhiên, chúng tôi biết rằng #e trong H #.

Kể từ khi # H # là một tập hợp đúng và hai coset phải phải giống hệt nhau hoặc tách rời nhau, chúng ta có thể kết luận #H = Hg #

=================================================

Trong trường hợp điều này không rõ ràng, chúng ta hãy thử một biểu tượng loại bỏ bằng chứng.

Để cho # G # là một nhóm và để # H # là một nhóm nhỏ của # G #. Đối với một yếu tố # g # thuộc về # G #, gọi điện # Hg # tập hợp đúng của # H # trong # G #.

Chúng ta hãy giả sử rằng coset đúng # Hg # là một nhóm nhỏ của # G #. Sau đó là yếu tố nhận dạng # e # thuộc về # Hg #. Tuy nhiên, chúng ta đã biết rằng yếu tố nhận dạng # e # thuộc về # H #.

Hai coset phải phải giống hệt nhau hoặc tách rời nhau. Kể từ khi # H # là một coset đúng, # Hg # là một coset đúng, và cả hai đều chứa # e #, họ không thể rời rạc. Vì thế, # H # và # Hg # phải giống hệt nhau, hoặc #H = Hg #