Làm thế nào tôi có thể giải phương trình vi phân này?

Câu trả lời:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Giải trình:

Đây là một phương trình vi phân tách, điều đó có nghĩa đơn giản là có thể nhóm # x # điều kiện & # y # các điều khoản trên các mặt đối lập của phương trình. Vì vậy, đây là những gì chúng ta sẽ làm đầu tiên:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Bây giờ, chúng tôi muốn có được dy ở bên cạnh y và dx ở bên với x's. Chúng ta sẽ cần phải sắp xếp lại một chút:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Bây giờ, chúng tôi tích hợp cả hai mặt:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Lần lượt thực hiện lần lượt từng tích phân:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Đầu tiên, hãy chia thành hai tích phân riêng biệt theo quy tắc cộng / trừ:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Chúng trông có vẻ khó chịu. Tuy nhiên, chúng ta có thể cung cấp cho họ một chút trang điểm để làm cho chúng trông đẹp hơn (và dễ giải quyết hơn nhiều):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Cả hai đều đơn giản # u #tích hợp -subst hiến. Nếu bạn đặt #u = -x # và # -3x # tương ứng, bạn sẽ nhận được câu trả lời là:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

# Nếu chúng tôi thực hiện số mũ âm, chúng tôi nhận được:

#int (các bạn ^ y) dy #

Chúng ta sẽ cần sử dụng tích hợp bởi các bộ phận cho việc này. Công thức là:

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

Chúng ta sẽ thiết lập #u = y #và #dv = e ^ y dy #. Lý do là chúng tôi muốn một cách dễ dàng # du # cho sự tích hợp cuối cùng đó, và cũng bởi vì # e ^ y # rất dễ tích hợp.

Vì thế:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Bây giờ, chúng tôi chỉ cần cắm và chug:

# => int (bạn ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = bạn ^ y - e ^ y #

Đưa mọi thứ trở lại:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Loại bỏ các số mũ âm:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

Và đó là một câu trả lời cuối cùng khá tốt. Nếu bạn muốn giải quyết cho # y #, bạn có thể, và bạn kết thúc với

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Lưu ý rằng chúng ta không có # + C # trên LHS của phương trình này. Lý do cho điều này là ngay cả khi chúng tôi đã đặt nó, cuối cùng chúng tôi sẽ trừ nó khỏi RHS, và một hằng số tùy ý trừ đi một hằng số tùy ý vẫn là (chờ nó) một hằng số tùy ý. Do đó, đối với những vấn đề này miễn là bạn có # + C # ở bất kỳ một phía nào của phương trình, bạn sẽ ổn thôi.

Mong rằng đã giúp:)