Câu trả lời:
#lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = 1/2 #
Giải trình:
Tính tổng hai thuật ngữ:
# 1 / x-1 / (e ^ x-1) = (x-e ^ x + 1) / (x (e ^ x-1)) #
Giới hạn hiện ở dạng không xác định #0/0# vì vậy bây giờ chúng ta có thể áp dụng quy tắc của l'Hospital:
#lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x + 1-x)) / (d / dx x (e ^ x-1)) #
#lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (e ^ x-1) / (e ^ x-1 + xe ^ x) #
và vì điều này là cho đến khi ở dạng #0/0# lần thứ hai:
#lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) (d / dx (e ^ x-1)) / (d / dx (e ^ x-1 + xe ^ x)) #
#lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (e ^ x + xe ^ x + e ^ x) #
#lim_ (x-> 0 ^ +) (1 / x-1 / (e ^ x-1)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (x + 2) = 1/2 #
đồ thị {1 / x-1 / (e ^ x-1) -10, 10, -5, 5}
