Làm thế nào để bạn sử dụng chuỗi nhị thức để mở rộng sqrt (z ^ 2-1)?

Câu trả lời:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Giải trình:

Tôi khá thích kiểm tra hai lần vì là sinh viên vật lý, tôi hiếm khi vượt qua # (1 + x) ^ n ~ ~ 1 + nx # cho x nhỏ nên tôi hơi gỉ. Chuỗi nhị thức là một trường hợp chuyên biệt của định lý nhị thức nói rằng

# (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

Với # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

Những gì chúng ta có là # (z ^ 2-1) ^ (1/2) #, đây không phải là hình thức chính xác. Để khắc phục điều này, hãy nhớ lại rằng # i ^ 2 = -1 # vì vậy chúng tôi có:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Bây giờ là ở dạng chính xác với #x = -z ^ 2 #

Do đó, việc mở rộng sẽ là:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #