Câu trả lời:
Xem bên dưới.
Giải trình:
Gọi điện thoại # E-> f (x, y, z) = ax ^ 2 + bởi ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 #
Nếu #p_i = (x_i, y_i, z_i) trong E # sau đó
# ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # là một mặt phẳng tiếp tuyến # E # bởi vì có một điểm chung và #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # là bình thường để # E #
Để cho # Pi-> alpha x + beta y + gamma z = delta # là một mặt phẳng tiếp tuyến # E # sau đó
# {(x_i = alpha / (một đồng bằng)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gamma / (c delta)):} #
nhưng
# ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # vì thế
# alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c = delta ^ 2 # và phương trình mặt phẳng tiếp tuyến chung là
#alpha x + beta y + gamma z = pmsqrt (alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c) #
Bây giờ cho ba mặt phẳng trực giao
# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #
và gọi #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # và làm
#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # chúng ta có thể chọn
#V cdot V ^ T = I_3 #
và như một hệ quả
# V ^ Tcdot V = I_3 #
sau đó chúng ta cũng có
# {(sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1), (sum_i alpha_i beta_i = 0), (sum_i alpha_i gamma_i = 0), (sum_i alpha_i gamma_i = 0) 0):} #
Bây giờ thêm #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # chúng ta có
# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (xy sum (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + sum (beta_i)
và cuối cùng
# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #
nhưng #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #
vì thế
# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / c #
đó là đường đi được vạch ra bởi điểm giao nhau của ba mặt phẳng tiếp tuyến vuông góc lẫn nhau với elip.
Đã đính kèm một âm mưu cho ellipsoid
# x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #
