Câu hỏi # dbd28

Câu trả lời:

Xác định khoảng cách giữa đồ thị và điểm dưới dạng hàm và tìm mức tối thiểu.

Điểm mấu chốt là #(3.5,1.871)#

Giải trình:

Để biết họ ở gần nhau như thế nào, bạn cần biết khoảng cách. Khoảng cách Euclide là:

#sqrt (Δx ^ 2 + Δy ^ 2) #

trong đó x và Δy là sự khác biệt giữa 2 điểm. Để là điểm gần nhất, điểm đó phải có khoảng cách tối thiểu. Do đó, chúng tôi đặt:

#f (x) = sqrt ((x-4) ^ 2 + (x ^ (1/2) -0) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + (x ^ (1/2)) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x ^ (1/2 * 2)) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-7x + 16) #

Bây giờ chúng ta cần tìm tối thiểu của chức năng này:

#f '(x) = 1 / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) * (x ^ 2-7x + 16)' #

#f '(x) = (2x-7) / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) #

Mẫu số luôn dương là hàm căn bậc hai. Tử số dương khi:

# 2x-7> 0 #

#x> 7/2 #

#x> 3,5 #

Vì vậy, chức năng là tích cực khi #x> 3,5 #. Tương tự, nó có thể được chứng minh rằng nó là tiêu cực khi #x <3,5 # Do đó, có chức năng #f (x) # có tối thiểu tại # x = 3,5 #, có nghĩa là khoảng cách là ít nhất tại # x = 3,5 # Tọa độ y của # y = x ^ (1/2) # Là:

# y = 3,5 ^ (1/2) = sqrt (3.5) = 1.871 #

Cuối cùng, điểm quan sát khoảng cách nhỏ nhất từ (4.0) là:

#(3.5,1.871)#