Tích phân của sqrt (9-x ^ 2) là gì?

Bất cứ khi nào tôi thấy các loại chức năng này, tôi nhận ra (bằng cách thực hành rất nhiều) rằng bạn nên sử dụng một sự thay thế đặc biệt ở đây:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3 giây (u) #

Điều này có thể trông giống như một sự thay thế kỳ lạ, nhưng bạn sẽ thấy tại sao chúng ta làm điều này.

#dx = 3cos (u) du #

Thay thế allhting trong tích phân:

#int sqrt (9- (3 giây (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

Chúng tôi có thể mang 3 trong số tích phân:

# 3 * int sqrt (9- (3 giây (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9 giây ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Bạn có thể tính đến 9 điểm:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Chúng tôi biết danh tính: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Nếu chúng ta giải quyết cho # cosx #, chúng tôi nhận được:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

Đây chính xác là những gì chúng ta thấy trong tích phân, vì vậy chúng ta có thể thay thế nó:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Bạn có thể biết đây là một thuốc chống động kinh cơ bản, nhưng nếu bạn không, bạn có thể hiểu nó như vậy:

Chúng tôi sử dụng danh tính: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1/2 giây (2u)) + C # (bạn có thể giải quyết vấn đề này bằng cách thay thế)

# 9/2 u + 9/4 tội lỗi (2u) + C #

Bây giờ, tất cả chúng ta phải làm là đặt # u # vào chức năng. Chúng ta hãy nhìn lại cách chúng ta định nghĩa nó:

#x = 3 giây (u) #

# x / 3 = sin (u) #

Để có được # u # Trong số này, bạn cần thực hiện chức năng nghịch đảo của #tội# ở cả hai phía, đây là # arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Bây giờ chúng ta cần chèn nó vào giải pháp của chúng tôi:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

Đây là giải pháp cuối cùng.