Làm thế nào để giải quyết cho inte ^ xcosxdx?

Câu trả lời:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Giải trình:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

Chúng tôi sẽ sử dụng tích hợp bởi các bộ phận, trong đó tuyên bố rằng #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Sử dụng tích hợp bởi các bộ phận, với # u = e ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #và # v = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Sử dụng tích hợp bởi các bộ phận một lần nữa để tích phân thứ hai, với # u = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #và # v = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

Bây giờ, nhớ lại chúng tôi đã xác định # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. Do đó, phương trình trên trở thành như sau (nhớ thêm hằng số tích hợp):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

Sử dụng danh tính của de Moivre

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # chúng ta có

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

nhưng #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

và cuối cùng

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #