Cái gì là hình trụ lớn nhất của bán kính, r và chiều cao h có thể vừa với hình cầu bán kính, R?

Câu trả lời:

Thể tích tối đa của xi lanh được tìm thấy nếu chúng ta chọn

# r = sqrt (2/3) R #và #h = (2R) / sqrt (3) #

Sự lựa chọn này dẫn đến một khối lượng xi lanh tối đa là:

# V = (4pi R ^ 3) / (3 giây (3)) #

Giải trình:

``

Tưởng tượng một mặt cắt ngang qua tâm của hình trụ và để hình trụ có chiều cao # h #và khối lượng # V #, sau đó chúng tôi có;

# h # và # r # có thể thay đổi và # R # là một hằng số. Thể tích của hình trụ được tính theo công thức tiêu chuẩn:

# V = cướp biển ^ 2h #

Bán kính của hình cầu, # R # là cạnh huyền của tam giác với các cạnh # r # và # 1 / 2h #, vì vậy sử dụng Pythagoras, chúng tôi có:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Chúng ta có thể thay thế điều này vào phương trình thể tích để có được:

# V = cướp biển ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Bây giờ chúng ta có khối lượng, # V # như một hàm của một biến # h #, mà chúng tôi tìm cách để tối đa hóa wrt # h # rất khác biệt # h # cho:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

Tối thiểu hoặc tối đa, # (dV) / (dh) = 0 # vì thế:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (rõ ràng chúng tôi muốn te + ve root)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

Với giá trị này của # h # chúng tôi nhận được:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Chúng ta nên kiểm tra xem giá trị này dẫn đến âm lượng tối đa (chứ không phải tối đa), Chúng tôi thực hiện điều này bằng cách xem đạo hàm thứ hai:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

Và như #h> 0 # chúng tôi kết luận rằng # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # và rằng điểm quan trọng được xác định dẫn đến tối đa như tìm kiếm.

Do đó, khối lượng tối đa của xi lanh được tìm thấy nếu chúng ta chọn

# r = sqrt (2/3) R #và #h = (2R) / sqrt (3) #

Với lựa chọn này, chúng tôi nhận được khối lượng tối đa như;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3))) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3 giây (3)) #

Và rõ ràng khối lượng của Sphere được đưa ra bởi:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Đây là một vấn đề rất nổi tiếng, được nghiên cứu bởi các nhà toán học Hy Lạp theo cách trước khi tính toán được phát hiện. Một tính chất thú vị là tỷ lệ thể tích của hình trụ với thể tích của hình cầu:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

Nói cách khác, tỷ lệ của các khối là hoàn toàn độc lập với # R #, # r # hoặc là # h # đó là một kết quả đáng kinh ngạc!