Giá trị trung bình của hàm f (x) = cos (x / 2) trong khoảng [-4,0] là bao nhiêu?

Câu trả lời:

# 1/2 giây (2) #, xấp xỉ #0.4546487#

Giải trình:

Giá trị trung bình # c # của một chức năng # f # vào khoảng # a, b # được đưa ra bởi:

# c = 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx #

Ở đây, điều này chuyển thành giá trị trung bình của:

# c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

Hãy sử dụng thay thế # u = x / 2 #. Điều này ngụ ý rằng # du = 1 / 2dx #. Sau đó chúng ta có thể viết lại tích phân như vậy:

# c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

# c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) #

Tách ra #1/4# vào #1/2*1/2# cho phép # 1 / 2dx # có mặt trong tích phân để chúng ta có thể dễ dàng thay thế # 1 / 2dx = du #. Chúng ta cũng cần thay đổi giới hạn thành giới hạn của # u #, không phải # x #. Để làm điều này, lấy hiện tại # x # giới hạn và cắm chúng vào # u = x / 2 #.

# c = 1 / 2int _ (- 2) ^ 0cos (u) du #

Đây là một tích phân phổ biến (lưu ý rằng # d / dxsin (x) = cos (x) #):

# c = 1/2 sin (u) _ (- 2) ^ 0 #

Đánh giá:

# c = 1/2 (sin (0) -sin (-2)) #

# c = -1 / 2 giây (-2) #

Lưu ý rằng #sin (-x) = - sin (x) #:

# c = 1/2 giây (2) #

#c khoảng0,4546487 #