Tam giác A có diện tích 15 và hai cạnh dài 4 và 9. Tam giác B tương tự tam giác A và có cạnh dài 7. Các diện tích tối đa và tối thiểu có thể có của tam giác B là gì?

Câu trả lời:

Có một bên thứ ba có thể xung quanh #11.7# trong tam giác A. Nếu tỷ lệ này thành bảy, chúng ta sẽ có diện tích tối thiểu là # 735 / (97 + 12 sqrt (11)) #.

Nếu chiều dài bên #4# thu nhỏ lại #7# chúng ta sẽ có một diện tích tối đa là #735/16.#

Giải trình:

Đây có lẽ là một vấn đề phức tạp hơn lần đầu tiên xuất hiện. Bất cứ ai cũng biết làm thế nào để tìm thấy bên thứ ba, mà chúng ta dường như cần cho vấn đề này? Bình thường trig thông thường làm cho chúng ta tính toán các góc, làm cho một xấp xỉ mà không cần phải có.

Nó không thực sự được dạy ở trường, nhưng cách dễ nhất là Định lý Archimedes, một dạng hiện đại của Định lý Heron. Hãy gọi khu vực của A # A # và liên hệ nó với các bên của A # a, b # và # c. #

# 16A ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

# c # chỉ xuất hiện một lần, vì vậy đó là ẩn số của chúng tôi. Hãy giải quyết nó.

# (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - 16A ^ 2 #

# c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 pm sqrt {4 a ^ 2 b ^ 2 - 16A ^ 2} #

Chúng ta có # A = 15, a = 4, b = 9. #

# c ^ 2 = 4 ^ 2 + 9 ^ 2 pm sqrt {4 (4 ^ 2) (9 ^ 2) - 16 (15) ^ 2} = 97 pm sqrt {1584} #

#c = sqrt {97 pm 12 sqrt {11}} #

#c khoảng 11.696 hoặc 7.563 #

Đó là hai giá trị khác nhau cho # c #, mỗi cái sẽ tạo ra một tam giác diện tích #15#. Dấu cộng một là mối quan tâm của chúng tôi vì nó lớn hơn hai mặt còn lại.

Đối với diện tích tối đa, tỷ lệ tối đa, có nghĩa là tỷ lệ bên nhỏ nhất để #7#, cho một yếu tố quy mô của #7/4# vì vậy một khu vực mới (tỷ lệ với bình phương của hệ số tỷ lệ) của #(7/4)^2(15) = 735/16#

Đối với diện tích tối thiểu, tỷ lệ bên lớn nhất để #7# cho một khu vực mới của

# 15 (7 / (sqrt {97 + 12 sqrt {11}})) ^ 2 = 735 / (97 + 12 sqrt (11)) #