Tam giác A có diện tích 4 và hai cạnh dài 8 và 4. Tam giác B tương tự tam giác A và có cạnh có chiều dài là 13. Các diện tích tối đa và tối thiểu có thể có của tam giác B là gì?

Câu trả lời:

# "Tối đa" = 169/40 (5 + sqrt15) ~ ~ 37.488 #

# "Tối thiểu" = 169/40 (5 - sqrt15) ~ ~ 4.762 #

Giải trình:

Cho các đỉnh của tam giác # A # được dán nhãn # P #, # Q #, # R #, với #PQ = 8 # và #QR = 4 #.

Sử dụng công thức của Heron,

# "Khu vực" = sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} #, Ở đâu

#S = {PQ + QR + PR} / 2 # là nửa chu vi,

chúng ta có

#S = {8 + 4 + PR} / 2 = {12 + PR} / 2 #

Như vậy

#sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} #

# = sqrt {({12 + PQ} / 2) ({12 + PQ} / 2-8) ({12 + PQ} / 2-4) ({12 + PQ} / 2-PQ)} #

# = sqrt {(12 + PQ) (PQ - 4) (4 + PQ) (12 - PQ)} / 4 #

# = "Khu vực" = 4 #

Giải quyết cho # C #.

#sqrt {(144 - PQ ^ 2) (PQ ^ 2 - 16)} = 16 #

# (PQ ^ 2 - 144) (PQ ^ 2 - 16) = -256 #

# PQ ^ 4 - 160 PQ ^ 2 + 2304 = -256 #

# (PQ ^ 2) ^ 2 - 160 PQ ^ 2 + 2560 = 0 #

Hoàn thành hình vuông.

# ((PQ ^ 2) ^ 2 - 80) ^ 2 + 2560 = 80 ^ 2 #

# ((PQ ^ 2) ^ 2 - 80) ^ 2 = 3840 #

# PQ ^ 2 = 80 + 16sqrt15 # hoặc là # PQ ^ 2 = 80 -16sqrt15 #

#PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~ ~ 11.915 # hoặc là

#PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~ ~ 4.246 #

Điều này cho thấy có 2 loại tam giác có thể thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Trong trường hợp diện tích tối đa cho tam giác là, chúng ta muốn cạnh có độ dài 13 tương tự với PQ bên cho tam giác với #PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~ ~ 4.246 #.

Do đó, tỷ lệ quy mô tuyến tính là

# 13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}} ~ ~ 3.061 #

Do đó, diện tích được mở rộng thành một yếu tố là bình phương của tỷ lệ quy mô tuyến tính. Do đó, tam giác diện tích tối đa B có thể có là

# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 + sqrt15) ~ ~ 37.488 #

Tương tự, trong trường hợp diện tích min cho tam giác là, chúng ta muốn cạnh có độ dài 13 tương tự với PQ bên cho tam giác với #PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~ ~ 11.915 #.

Do đó, tỷ lệ quy mô tuyến tính là

# 13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}} ~ ~ 1.091 #

Do đó, diện tích được mở rộng thành một yếu tố là bình phương của tỷ lệ quy mô tuyến tính. Do đó, tam giác diện tích min B có thể có là

# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 - sqrt15) ~ ~ 4.762 #