Giá trị tối thiểu của g (x) = (x - 1) / (x ^ 2 + 4) là bao nhiêu? trên khoảng [-2,2]?

Câu trả lời:

Giá trị tối thiểu là # x = 1-sqrt 5 khoảng "-" 1.236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) khoảng "-" 0,405 #.

Giải trình:

Trong khoảng thời gian đóng, các vị trí tối thiểu có thể sẽ là:

• một mức tối thiểu cục bộ trong khoảng, hoặc
• các điểm cuối của khoảng.

Do đó, chúng tôi tính toán và so sánh các giá trị cho #g (x) # tại bất kỳ #x trong "-2", 2 # điều đó làm cho #g '(x) = 0 #, cũng như tại #x = "- 2" # và # x = 2 #.

Đầu tiên: cái gì #g '(x) #? Sử dụng quy tắc thương, chúng tôi nhận được:

#g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (trắng) (g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (trắng) (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Điều này sẽ bằng 0 khi tử số bằng không. Theo công thức bậc hai, chúng ta nhận được

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 khoảng {"-1.236", 3.236} #

Chỉ một trong số này # x #giá trị là trong #'-2',2#, và đó là # x = 1-sqrt 5 #.

Bây giờ, chúng tôi tính toán:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0.375 #

2. #g (1 - sqrt 5) = (1 - sqrt 5 -1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("-" sqrt 5) / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) #

#color (trắng) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / ((2) (5-sqrt5)) * màu (màu xanh) (5 + sqrt 5) / (5+ sqrt 5)) #

#color (trắng) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 * (25-5) #

#color (trắng) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5) / (8) khoảng "-" 0,405 #

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0.125 #

So sánh ba giá trị này của #g (x) #, chúng ta thấy rằng #g (1-sqrt 5) # Là nhỏ nhất. Vì thế # - (1+ sqrt 5) / 8 # là giá trị tối thiểu của chúng tôi cho #g (x) # trên #'-'2, 2#.