Tam giác A có diện tích 15 và hai cạnh dài 4 và 9. Tam giác B tương tự tam giác A và có cạnh dài 12. Các diện tích tối đa và tối thiểu có thể có của tam giác B là gì?

Câu trả lời:

135 và #~~15.8#, tương ứng.

Giải trình:

Điều khó khăn trong vấn đề này là chúng ta không biết cạnh nào của cạnh cây trong tam giác ban đầu tương ứng với một chiều dài 12 trong tam giác tương tự.

Chúng ta biết rằng diện tích của một hình tam giác có thể được tính từ công thức của Heron

#A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-x)} #

Đối với tam giác của chúng ta, chúng ta có # a = 4 # và # b = 9 # và như vậy # s = {13 + c} / 2 #, # s-a = {5 + c} / 2 #, # s-b = {c-5} / 2 # và # s-c = {13-c} / 2 #. Như vậy

# 15 ^ 2 = {13 + c} / 2 xx {5 + c} / 2 xx {c-5} / 2 xx {13-c} / 2 #

Điều này dẫn đến một phương trình bậc hai trong # c ^ 2 #:

# c ^ 4 - 194 c ^ 2 + 7825 = 0 #

dẫn đến một trong hai #c ~ ~ 11,7 # hoặc là #c ~ ~ 7.5 #

Vì vậy, giá trị tối đa và tối thiểu có thể có cho các cạnh của tam giác ban đầu của chúng tôi lần lượt là 11,7 và 4. Do đó, giá trị tối đa và tối thiểu có thể có của hệ số tỷ lệ là #12/4=3# và #12/11.7~~ 1.03#. Do diện tích tỷ lệ là bình phương chiều dài, nên các giá trị tối đa và tối thiểu có thể có của diện tích tam giác tương tự là # 15 xx 3 ^ 2 = 135 # và # 15 xx 1,03 ^ 2 ~ ~ 15,8 #, tương ứng.