Làm thế nào để tìm đạo hàm đầu tiên của f (x) = 2 sin (3x) + x?

Câu trả lời:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Giải trình:

Phân biệt từng thuật ngữ:

# (d (x)) / dx = 1 #

Sử dụng quy tắc chuỗi cho thuật ngữ thứ hai, chúng tôi có:

#g (x) = h (k (x)) => g '(x) = k' (x) h '(k (x)) #

Với:

#h (u) = 2sin (u) => h '(u) = 2cos (u) #

#k (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#g (x) = 2sin (3x) => g '(x) = 6cos (3x) #

Cùng nhau chúng ta có:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Câu trả lời:

Chúng tôi được yêu cầu tìm đạo hàm của #f (x) = 2 giây (3x) + x # sử dụng định nghĩa: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

Giải trình:

Chúng ta cần đánh giá:

#lim_ (hrarr0) (overbrace (2sin (3 (x + h)) + (x + h)) ^ (f (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x) ^ f (x)) / h #.

Điều này sẽ cồng kềnh. Để làm cho nó trông ít phức tạp hơn, hãy chia biểu thức thành hai phần đơn giản hơn. Chúng ta sẽ lấy phần lượng giác và phần tuyến tính riêng biệt.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

Tôi sẽ cho rằng bạn có thể chỉ ra rằng giới hạn thứ hai là #1#. Giới hạn thách thức hơn là giới hạn liên quan đến các hàm lượng giác.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (ghi đè ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h #

# = 2 (lim_ (hrarr0) sin3x) (3lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / (3h)) + (lim_ (hrarr0) cos3x) (3lim_ (hrarr0) (sin3h) / (3h))

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

Vì vậy, khi chúng tôi đặt hai mảnh lại với nhau, chúng tôi nhận được:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #