Tích phân của e ^ (x ^ 3) là gì?

Bạn không thể biểu thị tích phân này theo các hàm cơ bản.

Tùy thuộc vào những gì bạn cần tích hợp, bạn có thể chọn cách tích hợp hoặc cách khác.

Tích hợp thông qua chuỗi sức mạnh

Nhớ lại rằng # e ^ x # là phân tích trên #mathbb {R} #, vì thế #forall x in mathbb {R} # quyền bình đẳng sau đây

# e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ vô cùng} x ^ n / {n!} #

và điều này có nghĩa là

# e ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

Bây giờ bạn có thể tích hợp:

#int e ^ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ vô cùng} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Tích hợp thông qua chức năng Gamma chưa hoàn thành

Đầu tiên, thay thế # t = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

Chức năng # e ^ {x ^ 3} # là liên tục. Điều này có nghĩa là các chức năng nguyên thủy của nó là #F: mathbb {R} đến mathbb {R} # như vậy mà

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

và điều này được xác định rõ bởi vì chức năng #f (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # là như vậy cho #t đến 0 # nó giữ #f (t) ~ ~ t ^ {- 2/3} #, do đó tích phân không đúng # int_0 ^ s f (t) dt # là hữu hạn (tôi gọi # s = -y ^ 3 #).

Vì vậy, bạn có điều đó

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Ghi chú rằng #t ^ {- 2/3} <1 giờ> 1 #. Điều này có nghĩa là cho #t đến + infty # chúng ta hiểu điều đó #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, vậy đó # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. Vì vậy, sau tích phân không đúng của #f (t) # là hữu hạn:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gamma (1/3) #.

Chúng tôi có thể viết:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

đó là

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

Cuối cùng, chúng tôi nhận được

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 Gamma (1/3, t) = C + 1/3 Gamma (1/3, -x ^ 3) #