Thời gian của f (t) = sin (t / 36) + cos ((t) / 42) là gì?

Câu trả lời:

#T = 504pi #

Giải trình:

Trước hết chúng ta, biết rằng #sin (x) # và #cos (x) # có một khoảng thời gian # 2pi #.

Từ điều này, chúng ta có thể khấu trừ rằng #sin (x / k) # có một khoảng thời gian # k * 2pi #: bạn có thể nghĩ rằng # x / k # là một biến chạy tại # 1 / k # tốc độ của # x #. Ví dụ, # x / 2 # chạy với tốc độ bằng một nửa # x #và nó sẽ cần # 4pi # để có một khoảng thời gian, thay vì # 2pi #.

Trong trường hợp của bạn, #sin (t / 36) # sẽ có một khoảng thời gian # 72pi #và #cos (t / 42) # sẽ có một khoảng thời gian # 84pi #.

Hàm toàn cầu của bạn là tổng của hai hàm tuần hoàn. Theo định nghĩa, #f (x) # là định kỳ với thời gian # T # nếu # T # là số nhỏ nhất sao cho

#f (x + T) = f (x) #

và trong trường hợp của bạn, điều này chuyển thành

#sin (t / 36 + T) + cos (t / 42 + T) = sin (t / 36) + cos (t / 42) #

Từ đây, bạn có thể thấy rằng thời kỳ #f (x) # không thể # 72pi # cũng không # 84pi #, bởi vì chỉ một trong hai thuật ngữ sẽ tạo ra một lượt, trong khi thuật ngữ kia sẽ giả sử một giá trị khác. Và vì chúng ta cần cả hai các điều khoản để thực hiện một lượt, chúng ta cần lấy bội số chung nhỏ nhất giữa hai thời kỳ:

#lcm (72pi, 84pi) = 504pi #

Câu trả lời:

# 1512pi #.

Giải trình:

P (nếu có) dương ít nhất sao cho f (t + P) = f (t) phù hợp

gọi là thời kỳ của f (t). Với P này, f (t + nP) = f (t), n = + - 1,, + -2, + -3, … #.

Dành cho #sin t và cos t, P = 2pi. #

Dành cho #sin kt và cos kt, P = 2 / kpi. #

Đây, giai đoạn cho #sin (t / 36) # là pi / 18 # và, cho #cos (t / 42) #, nó là # pi / 21 #.

Đối với dao động gộp đã cho f (t), chu kỳ P phải là

như vậy đó cũng là khoảng thời gian cho các điều khoản riêng biệt.

P này được cho bởi # P = M (pi / 18) = N (pi / 21). Cho M = 42 và N = 36, # P = 1512 pi #

Bây giờ, hãy xem nó hoạt động như thế nào.

#f (t + 1512pi) #

# = sin (t / 36 + 42pi) + cos (t / 42 + 36pi) #

# = sin (t / 36) + cos (t / 42) #

# = f (t).

Nếu giảm một nửa P thành 761 và đây là số lẻ. Vì vậy, P = 1512 là ít nhất có thể

thậm chí nhiều #số Pi#.